quarta-feira, 13 de maio de 2015

O que é um número?


Algo que matemáticos aprenderam, melhor do que ninguém, é o convívio com a pluralidade de ideias. Não existe, em matemática, uma definição universalmente aceita para esclarecer o que é, afinal, um número. No entanto, matemáticos frequentemente trabalham com números, sem se preocuparem com a falta de convergência de ideias fundamentais. Então, qual é o sentido de escrever uma postagem sobre este tema? 

O que pretendo fazer aqui é apenas esclarecer alguns pontos importantes sobre números, ao mesmo tempo em que procuro desfazer alguns mitos muito comuns, não apenas entre leigos, mas até mesmo entre estudantes e professores de matemática. A visão intuitiva e bastante comum, de que números servem para contar e medir, simplesmente espelha uma percepção limitada e até corrompida do que se entende por números em matemática.

Antes de mais nada, preciso qualificar a linguagem que emprego aqui. Tudo o que é dito nesta postagem sobre números pode ser traduzido para uma linguagem formal de conjuntos. Para minimizar ambiguidades, apelo para a mais usual das teorias formais de conjuntos: Zermelo-Fraenkel com o Axioma da Escolha (ZFC) e algumas de suas variantes. No entanto, é perfeitamente possível adaptar as afirmações aqui feitas para outras teorias formais de conjuntos. 

ZFC é uma teoria formal com apenas dois conceitos primitivos: pertinência e igualdade. Em outras palavras, não existe em ZFC qualquer referência explícita a conjuntos. No entanto, compreender as "relações" entre pertinência e igualdade é um passo fundamental para entender conjuntos e, consequentemente, números. 

Comecemos com os números naturais. Frequentemente se diz que números naturais são números inteiros estritamente positivos (1, 2, 3, 4, 5, ...) ou números inteiros não negativos (0, 1, 2, 3, 4, ...). Até mesmo o excelente site Wolfram apela para essa "explicação". Mas o problema aqui é óbvio: o conceito de número natural depende do conceito de número inteiro. Ou seja, o problema de qualificar números naturais está sendo delegado para números inteiros. Esta é uma solução deselegante e desnecessária. 

Os números naturais são apenas conjuntos que pertencem a um conjunto comumente denotado por N. Como se define este conjunto N? A maneira mais usual é através dos axiomas de Peano, em sua versão de primeira ordem. De acordo com esses axiomas, existe uma constante, chamada de zero, pertencente a N. Além disso, há uma operação - chamada de Sucessor - de tal modo que, se n pertence a N, então o sucessor de n também pertence a N. Esta operação pode ser definida usando o conceito de união entre conjuntos (o qual é garantido pelos axiomas de ZFC, que - não custa lembrar - simplesmente estabelecem as "relações" entre pertinência e igualdade). Os demais axiomas de Peano dizem que: (i) zero não é sucessor de elemento algum de N; (ii) se m e n pertencem a N, de modo que os sucessores de m e n são iguais, então m e n são iguais; e (iii) se S é um conjunto que contém zero e também o sucessor de qualquer número natural, então S contém todos os números naturais. 

Entre os números naturais é usual definir duas operações bem conhecidas: adição (+) e multiplicação (.). Essas duas operações são comutativas [m+n = n+m e m.n = n.m], associativas [m+(n+p) = (m+n)+p e m.(n.p) = (m.n).p] e admitem elemento neutro [m+0 = m e m.1 = m]. Além disso, vale a distributividade da multiplicação em relação à adição [m.(n+p) = m.n + m.p]. Tais operações podem ser recursivamente definidas a partir da operação de Sucessor. Em outras palavras, nada além de teoria de conjuntos está sendo usado aqui. 

Sim, números naturais podem ser usados para contar, como fazemos para determinar o número de frutas em uma cesta. Neste sentido, a teoria dos números naturais pode ser também compreendida como uma teoria física. Mas não é apenas isso. O estudo de números naturais é legitimamente matemático, sem precisar de uma correspondência com o mundo real. Tanto é verdade que a espécie humana conta o número de frutas em uma cesta desde muito antes dos axiomas de Peano serem enunciados. Se os axiomas de Peano se tornaram tema de estudos entre matemáticos, é porque estes perceberam aspectos sobre números naturais que transcendem as aplicações cotidianas de métodos de contagem. 

Já os números inteiros também podem ser definidos a partir de uma linguagem como aquela empregada em ZFC. Existem aqueles (e não são poucos) que insistem que números inteiros podem ser positivos ou negativos. Mas como expressar os conceitos de sinal positivo e sinal negativo na teoria de conjuntos? Os símbolos + e -, usualmente empregados para diferenciar um caso do outro, são meras notações. Nada esclarecem, do ponto de vista conceitual. Assim como uma farda não qualifica uma pessoa como policial, um sinal + ou - não qualifica um número inteiro como positivo ou negativo.

A principal diferença entre números naturais e números inteiros radica nas propriedades algébricas da operação de adição. A adição entre números inteiros admite a existência de simétricos, algo que não ocorre entre números naturais. Como se expressa isso? A resposta é simples. Análogos aos axiomas da adição entre números naturais são fortalecidos com um axioma extra para os inteiros que diz: para todo número inteiro m existe um inteiro n tal que m+n é igual ao neutro aditivo (zero). As demais propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números naturais (comutatividade, associatividade, elemento neutro e distributividade) são apenas copiadas entre números inteiros. Uma maneira de apresentar modelos para números inteiros é através de classes de equivalência de pares ordenados de números naturais (desde que certos cuidados sejam tomados em ZFC). Uma visão meramente intuitiva e indolor sobre essa construção de números inteiros a partir de números naturais pode ser encontrada neste link

Neste contexto, é um erro a afirmação muito comum de que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. O que de fato ocorre é que uma cópia canônica dos números naturais pode ser encontrada entre os números inteiros, uma vez que todas as propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números naturais estão copiadas entre os números inteiros. As famosas regras de sinais para a multiplicação entre inteiros são simples teoremas, neste contexto. É um mistério por que esse tipo de conhecimento não é abordado no ensino médio. Não há necessidade de apelar para ZFC, no caso de uma transposição de conhecimentos. Basta usarmos teoria intuitiva de conjuntos para que seja apresentada uma devida fundamentação para as conhecidas regras de sinais, as quais são costumeiramente vistas pelos alunos como meras arbitrariedades.

Com preocupante frequência costuma-se dizer também que números racionais são aqueles que podem ser representados na forma de frações p/q, sendo p e q inteiros e q diferente de zero. Ora, isso não faz sentido, por dois motivos: (i) Não existe divisão entre números inteiros (uma vez que não existem simétricos multiplicativos entre inteiros); e (ii) Não se estabelece um conceito a partir de uma notação. 

O que difere números racionais de números inteiros são as propriedades algébricas da multiplicação. A multiplicação entre racionais admite a existência de simétricos, exceto para o neutro aditivo (zero). Isso não ocorre entre números inteiros! Como se expressa essa ideia? A resposta é novamente simples. Análogos aos axiomas da multiplicação entre números inteiros são fortalecidos com um axioma extra para racionais que diz: para todo número racional r diferente de zero existe um racional s tal que r.s é igual ao neutro multiplicativo (um). A partir disso costuma-se falar de uma "operação" de divisão: r dividido por s é igual a r vezes o simétrico multiplicativo de s. No entanto, a divisão, neste sentido, não se trata de uma operação entre números racionais, uma vez que usualmente não se divide por zero. Operações, em uma linguagem como aquela empregada em ZFC, são funções (um caso especial de conjunto). E funções definidas sobre os números racionais devem permitir a identificação de imagens para todo e qualquer número racional. Como usualmente não se define divisão por zero, logo a divisão não é uma operação, mas apenas uma relação. As demais propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números inteiros (comutatividade, associatividade, elemento neutro, distributividade e simétrico aditivo) são copiadas entre os números racionais. Uma maneira de apresentar modelos para números racionais é através de classes de equivalência de pares ordenados de números inteiros (desde que certos cuidados sejam tomados em ZFC). Uma visão meramente intuitiva e indolor sobre essa construção de números racionais a partir de números inteiros pode ser encontrada neste link

É um erro comum afirmar que todo número inteiro é racional. Analogamente à discussão sobre naturais e inteiros, feita acima, entre os racionais existe uma cópia canônica dos números inteiros. De um ponto de vista meramente didático, gera-se muita confusão quando se afirma que todo inteiro é racional. Afinal, o número racional 3,000000... é conceitualmente diferente do inteiro 3. Isso porque números racionais podem ser representados por frações (uma vez que existe divisão). Por exemplo, 3,0000000... é igual a 30,00000... dividido por 10,00000... . No entanto, o inteiro 3 não é equivalente à razão entre os inteiros 30 e 10, uma vez que não é usual definir divisão entre inteiros. Quando um autor se refere ao racional 3,00000... através do símbolo 3, está apenas apelando para uma notação abusiva. 

O 3 inteiro é uma classe de equivalência de pares ordenados de naturais, enquanto o 3 racional é uma classe de equivalência de pares ordenados de números inteiros. As respectivas relações de equivalência que permitem definir tais classes de equivalência são discutidas nos links indicados acima. 

Números reais são diferentes de números racionais no seguinte sentido: além de admitirem cópias das propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números racionais, ainda garantem que toda sequência de Cauchy é convergente. A compreensão deste resultado demanda estudos sobre análise matemática. Números reais, do ponto de vista algébrico, constituem aquilo que se chama de corpo ordenado completo. Uma maneira simples para se apresentar um modelo de números reais a partir dos racionais é através de uma relação de equivalência entre sequências de Cauchy de racionais. Sequências de Cauchy de racionais que sejam convergentes (convergem para um racional) são representantes (em uma classe de equivalência) de cópias de racionais entre os números reais. Sequências de Cauchy de racionais que não sejam convergentes (não convergem para um racional) são representantes de números reais que não são cópias de racionais: estes são os conhecidos números irracionais. Uma explicação bastante acessível para este tipo de construção de números reais a partir de números racionais se encontra neste link

Já os números complexos são diferentes dos números reais no seguinte sentido: toda equação polinomial de uma variável, com coeficientes complexos, admite pelo menos uma raiz (Teorema Fundamental da Álgebra). Entre os números reais este resultado não vale. Por exemplo, a equação polinomial x^2 + 1 = 0 não admite solução entre os números reais, mas sim entre os números complexos. 

Portanto, o que diferencia números complexos de números reais são as propriedades algébricas da multiplicação. Todas as propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números reais são copiadas entre os complexos. No entanto, os complexos ainda permitem uma propriedade algébrica para a multiplicação que não pode ser copiada entre os reais: aquela que remete ao Teorema Fundamental da Álgebra.

Uma maneira simples de apresentar um modelo para números complexos a partir de números reais é através da definição de números complexos como pares ordenados de números reais. Não encontrei uma boa referência na internet para isso. Então explico rapidamente aqui mesmo. 

Um número complexo pode ser modelado como um par ordenado de números reais (rs), desde que as operações de adição e multiplicação sejam definidas da seguinte maneira:

(r, s)+(t, u) = (r+t, s+u)
(r, s).(t, u) = (r.t-s.u, r.u+s.t).

Observe que, do lado direito de ambas as igualdades, estamos usando apenas operações entre números reais: adição e multiplicação (uma subtração a - b é apenas uma adição de a com o simétrico aditivo de b). 

A partir dessas operações de adição e multiplicação entre complexos é possível provar os seguintes teoremas:

I) (0,0) é neutro aditivo entre complexos.

II) (1,0) é neutro multiplicativo entre complexos.

III) (-1,0) é simétrico aditivo de (1,0).

IV) (0,1) elevado ao quadrado [ou seja, (0,1).(0,1)] é igual a (-1,0).

O teorema IV é surpreendente! Garante a existência de um número complexo cujo quadrado é igual ao simétrico aditivo do neutro multiplicativo. Não acontece fenômeno análogo entre os números reais! Nenhum número real ao quadrado pode resultar em um número real negativo. E é este resultado dos complexos (Teorema IV) que viabiliza o Teorema Fundamental da Álgebra! 

Consequentemente, podemos demonstrar o seguinte resultado: todo número complexo (a, b) pode ser escrito na forma (a, 0).(1, 0) + (b, 0).(0, 1). O que isso significa na prática? Ora, todos os complexos da forma (a, 0) ou (b, 0) são cópias dos números reais, no sentido de satisfazerem todas as propriedades algébricas da adição e da multiplicação entre números reais. Logo, podemos abreviar (a, 0), (b, 0) e (1, 0) como simplesmente a, b e 1, respectivamente. Esta é uma notação abusiva, mas muito comum. Como a constante (0, 1) tem uma propriedade algébrica bizarra (se compararmos com os números reais), costuma-se denotá-la como i e chamá-la de unidade imaginária. Logo, a expressão

(a, 0).(1, 0) + (b, 0).(0, 1)

é simplesmente abreviada como

a + bi.

O erro comum entre livros didáticos está na afirmação de que a e b são números reais. Isso é falso! a e b são números complexos que são cópias canônicas de números reais. Não faz sentido algum afirmar que a e b são números reais. Afinal, como pode um número real b ser multiplicado por i (algo que evidentemente não é real) e ainda somarmos o resultado com o número real a? É esse tipo de erro que contribui muito em visões distorcidas da matemática entre alunos. 

Além de todos esses exemplos, ainda existem os números hipercomplexos, hiperreais, surreais, transfinitos, entre muitos outros. Quais seriam esses muitos outros? Bem, dependendo da fundamentação conjuntista adotada, os próprios conceitos de números naturais, inteiros, racionais, reais, complexos, hipercomplexos, hiperreais, surreais e transfinitos, mudam. A escolha de diferentes teorias formais de conjuntos acarreta em diferentes formulações para o conceito de número. Além disso, nada impede que tais conceitos de número sejam formulados em teorias formais axiomáticas que nada tenham a ver com conjuntos, como as formulações categoriais para a matemática

E, para finalizar esta postagem, quero também lembrar que a visão usual de que números reais servem ao propósito de medir (como se faz em física ou engenharias), apresenta outro tipo de limitação. Físicos e engenheiros não precisam necessariamente usar números para medir. 

Em seu célebre e brilhante livro Science Without Numbers, o filósofo Hartry Field apresenta uma convincente argumentação em favor do nominalismo em filosofia da matemática. Nominalismo em matemática se sustenta na tese de que objetos matemáticos simplesmente não existem ou, pelo menos, não existem na forma de conceitos abstratos. Neste contexto, Field mostra como desenvolver uma cópia da teoria gravitacional de Newton sem usar números.

Enfim, é bem possível que matemáticos simplesmente não saibam o que estão fazendo.
___________
Nota: Fui alertado agora há pouco (13/05/2015 - 22:16h) que existe sim uma ótima referência (em português) na internet para números complexos. Basta clicar aqui para acessar.

78 comentários:

  1. Olá Prof. Adonai.

    Sobre "todo número complexo (a, b) pode ser escrito na forma (a, 0).(1, 0) + (b, 0).(0, 1).", não poderia expressar (a,b) como a.(1,0)+b.(0,1), com a, b reais, ou seja, uma combinação linear de números complexos?

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    1. Adam

      Neste caso parece-me que você está sugerindo tratar os números complexos como um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais. Afinal, você propõe uma nova operação: multiplicação de número real por número complexo (o que é legítimo em um espaço vetorial). É claro que, se fosse o caso, você teria um espaço vetorial munido de um produto entre vetores. Na postagem estou restringindo a discussão sobre as operações apenas entre números complexos.

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  2. Assim, números são conjuntos. Sabemos operar com eles e sabemos utiliza-los. Mas como não definimos conjunto, não temos uma definição satisfatória de número (nem de função e tudo que segue daí). No entanto a construção matemática não para por conta disso. Podemos então concluir que para o trabalho do matemático não é essencial definições fundamentais. É por aí?

    (Brasileiro)

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    1. (Brasileiro)

      Em ZF e ZFC conjuntos não podem ser definidos. Mas na teoria de von Neumann, conjuntos são definidos sim. Ou seja, a questão da definibilidade de conjuntos depende da teoria adotada. Mesmo assim, números naturais, inteiros e demais podem e são definidos mesmo em ZF, ZFC e von Neumann. Sobre definições em matemática, discuto um pouco na postagem abaixo.

      http://adonaisantanna.blogspot.com.br/2012/01/por-que-e-dificil-compreender.html

      O tema que você questiona é extremamente delicado. Não existe, por exemplo, a noção de "definição fundamental" em matemática, como você sugere.

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    2. Adonai, me expressei mal quando disse "definições fundamentais". Quis dizer definições a nível de fundamentos da matemática. O que eu quero dizer é que número é definido como conjunto, mas no entanto conjunto não se define (a menos em ZFC, que é a teoria axiomática formal usual para formalizar a matemática) e que portanto, essa estratégia para obter uma definição de uma noção (no caso a de número) tem uma deficiência importante. No entanto, mesmo assim, os matemáticos seguem fazendo matemática sem maiores problemas, o que me parece indicar que os fundamentos da matemática são mais importantes para discussões filosóficas sobre matemática (o que acho importantíssimo) do que para o desenvolvimento matemático propriamente.

      (Brasileiro)

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    3. (Brasileiro)

      Creio que finalmente entendi o seu questionamento. Aqui vai.

      No caso específico de ZFC, a linguagem empregada é aquela conhecida como linguagem de primeira ordem. Em toda linguagem de primeira ordem existem símbolos (elementos do vocabulário) chamados de variáveis e outros chamados de constantes. As variáveis e as constantes em ZFC são chamadas, em particular, de conjuntos. Ou seja, toda variável e toda constante em ZFC é um conjunto. No entanto, a noção de conjunto não está no elenco de conceitos primitivos ou definidos em ZFC. Isso por conta do fato de que pertinência e igualdade são os conceitos primitivos que ditam o comportamento dessas variáveis e constantes, também chamadas de conjuntos. Mas isso não impede de definirmos conjuntos específicos como, por exemplo, números naturais. O número natural zero é uma constante. E pode ser definida, empregando apenas pertinência e igualdade. O mesmo vale para os demais números naturais. Do ponto de vista das teorias usuais de definição, não há problema algum neste procedimento.

      A distinção entre matemática e filosofia da matemática não é clara. A primeira escola de fundamentos da matemática foi um movimento hoje conhecido como análise. Começou no final do século 19 e continua até os dias de hoje. Análise matemática é disciplina obrigatória em qualquer curso de matemática em qualquer parte do mundo.

      Se você examinar o Mathematics Subject Classification da American Mathematical Society (http://www.ams.org/mathscinet/msc/pdfs/classifications2010.pdf), perceberá no item 03-XX que lógica e fundamentos é um ramo extremamente rico da matemática, de acordo com a comunidade internacional de matemáticos.

      A postagem que escrevi está *muito* longe de esclarecer conceitos e esgotar o tema. Escrevo postagens neste blog com o principal intuito de provocar, estimular. Especialmente em lógica e fundamentos há sutilezas que somente podem ser compreendidas com excepcional dedicação. O que coloquei nesta postagem é apenas feijão com arroz requentado. Nenhum lógico experiente poderia aproveitar algo remotamente estimulante a partir do que escrevi.

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  3. Realmente, o ensino médio emburrece a gente quando se trata da matemática

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    1. Rodrigo

      Um de meus objetivos é apresentar propostas de transposição de conhecimentos matemáticos para o ensino médio. Por isso estou trabalhando nos vídeos que, em breve, serão disponibilizados. O vídeo mais difícil de todos, por enquanto, é o quinto da série. O tema é teoria de conjuntos. Estou evitando ao máximo aquele lenga-lenga de que um conjunto é uma coleção de objetos. E estou trabalhando também em uma forma diferente de notação para conjuntos. Aqueles famosos diagramas de Venn são um veneno. Só espero conseguir realizar tudo isso. As imagens do quinto vídeo, por exemplo, têm custado vários dias de máquina só para fins de renderização. Não é fácil.

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  4. Adonai, tenho uma postagem sobre números complexos no meu blog, se quiser dar uma olhada:

    http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2010/06/por-que-i-1.html

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    1. Sim, sim. Como não lembrei disso? Eu já conhecia seu texto. É excelente! Divulgarei agora mesmo na página fb de meu blog. Grato, Renato.

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    2. Acabo de incluir uma nota ao final da postagem.

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    3. No artigo abaixo, que também está no livro "O Saber do Professor de Matemática" tem mais detalhadamente ideias semelhantes a tuas Renato:

      https://drive.google.com/file/d/0B0DC588cSqRfQ3UzNXVKTl80dXB4anJQOEdndzVqR1hwTktn/view

      É muito bom o texto também.

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  5. Adonai

    O seu livro "O que é um conjunto?", o qual o sr gentilmente me cedeu uma cópia, é uma verdadeira obra prima! Neste maravilhoso livro o que mais me fascinou foi a descrição dos números naturais por meio de conjuntos, em que cada número é um conjunto.

    Creio que se o ensino dos números fosse feito de forma menos artificial, e sim mais honestam mesmo que utilizando um nível de abstração maior, seria muito mais compreensível aos alunos

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    1. Hugo

      Fico feliz que tenha gostado do texto. De fato, creio que os alunos de ensino médio são muito subestimados em nosso país, tratados com um sentimento deturpado de paternalismo. Mas, lamentavelmente o livro nunca foi publicado. Admito a possibilidade de, um dia, publicar um bom livro sobre conjuntos em nosso país. Mas, antes, quero experimentar o canal de vídeos que devo inaugurar em agosto. É uma forma de avaliar o potencial interesse dos jovens. Os livros que publiquei (como textos paradidáticos de lógica) não foram muito bem recebidos, apesar das resenhas terem sido favoráveis. E isso é algo que incomoda.

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  6. Adonai

    Mesmo que vc afirme que aquilo que aprendemos na escola e na universidade de modo tradicional tem sim o seu valor e não é de todo perdido, podendo ser resgatado, não tem como evitar o desânimo de quando nos deparamos com a dura realidade......

    Pessoalmente, cheguei num momento tal que, se fosse possível, formataria todo o "disco rígido" de minha massa encefálica, voltaria no tempo, nasceria novamente e, com sorte, poderia ter o privilégio de aprender corretamente desde o começo......

    Parece que seria mais fácil assim do que consertar e remendar problemas e erros em nossas formações acadêmicas.......

    Com "nossas" quero dizer obviamente de mim e outras tantas pessoas, excluindo vc, Newton da Costa e outros seletos grupos de pessoas muitíssimo bem formadas.....

    Em outra postagem, vc ressaltou a importância de se construir algo ao invés de apenas criticar. Bem, se eu fosse matemático poderia usar suas referências e textos para ajudar a melhor construir e ensinar......

    Em química e livros didáticos correlatos, já tive oportunidade de notar vários absurdos e conceitos mal explicados e até equivocados. No entanto, mesmo tendo um ou dois ótimos professores na graduação e conversando com outros tantos profissionais por e-mail e redes sociais, ainda não encontrei na química um equivalente seu, ou mesmo do Newton da Costa com quem pudesse confrontar minhas ideias e impressões, além do conhecimento técnico......

    Tive, claro, estes dois professores ótimos, mas que ainda não seriam seus equivalentes em química.....

    Sendo assim, não creio que eu tenha muito a oferecer de tão construtivo para além de erros e absurdos conceituais que noto em alguns livros didáticos. Até porque as próprias correções que proponho, se duvidar, são passíveis de contestação......

    Dada esta realidade, como saber se minhas atitudes e ensinamentos serão edificantes a outros ou se, ao contrário, serão um desserviço ao que já existe????

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    1. Leandro

      Antes de mais nada, preciso parabenizá-lo por se concentrar muito mais em ciência do que em política. Recentemente abri espaço neste blog para discussões políticas e o resultado foi quase desastroso. Essa sua atitude, por si só, já espelha um mérito fenomenal, raríssimo nos dias de hoje.

      Em segundo lugar, qualquer comparação entre Newton da Costa e alguém como eu é simplesmente infundada. Espero que não me leve a mal, mas a verdade é que Newton da Costa é um legítimo representante do que há de mais refinado em nossa espécie. Gente como você, eu e todas as demais pessoas que conheço (exceção talvez para Yakir Aharonov) são simples símios. Acabamos de descer da mesma árvore.

      Levando isso em conta, recomendo que faça o que (um símio como eu) fiz: coloque a cara pra bater. Fale, ouça, escreva, leia, opine, escute, sempre aprendendo com as bordoadas bem dadas. Levei muita pancada na vida, principalmente de gente com a índole de da Costa. É apanhando que se aprende. E é batendo que se ensina. Não acredito em caminho suave, quando o assunto é educação.

      Se você acha que algum conteúdo de livro está errado, fale com quem puder e quiser ouvir. Se você mantiver a mente aberta para críticas, algo de bom pode sair disso. Mas o silêncio nada constrói.

      De fato, não creio que exista algum Newton da Costa na área de química, em nosso país. Mas isso não impede os químicos brasileiros de alcançarem conquistas importantes, seja em ciência ou educação. Fica mais difícil, mas não impossível.

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    2. Tens razão e vale a pena tentar. Tenho algumas ideias em mente e, aos poucos, estou colocando em prática. Se ficar bom, já me dou por satisfeito, pelo menos em um primeiro momento......

      Satisfação não no sentido de relaxar, mas sim de saber que algo de bom pode ter saído.......

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    3. No mais, Newton da Costa está tão avançado assim perante vc e outras pessoas acima da média ao ponto da diferença ser quase que entre espécies????

      Se isso for verdade, como diria o trapalhão Mussum: "Cacildis".......

      :o

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    4. Leandro

      Só o fato de você querer mudar o ensino e a aprendizagem de química, já o destaca de muitos. Força brother, torço por você!

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    5. Hugo

      Já tentei adaptar algumas ideias diretamente em sala de aula mas, como vc bem deve saber, trata-se de um ambiente repleto de ruídos (tanto no sentido de interferências de naturezas variadas, quanto literalmente mesmo, rsrsrsrsrs)......

      Por isso, atualmente, estou mudando a estratégia e tentando fazer algo que, apesar de silencioso, pode ter um amplo alcance principalmente para aqueles que verdadeiramente se interessam pelo aprendizado......

      São os poucos (e bons) alunos que interessam e motivam qualquer tentativa no sentido de melhorar o que existe. O resto é mero refugo.......

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    6. Adonai

      Pelo que entendi, na postagem vc afirma ser um erro assumir que, por exemplo, o conjunto dos números naturais está contido no dos números inteiros no contexto da teoria ZFC com o axioma da escolha. Assim, uma cópia canônica dos números naturais seria encontrada no rol dos números inteiros.

      Em outros contextos, com linguagem e notações diferentes daquelas da Matemática, não é difícil perceber que uma cópia difere do original em algum sentido, apesar de ambos serem idênticos em alguns aspectos. Por exemplo: apesar de um clone meu ser uma cópia idêntica minha, isto não permitiria afirmar, em princípio, que o clone seria eu mesmo, mas apenas uma cópia minha visto que o clone poderia ter uma educação completamente diferente da minha, por exemplo, além de outras peculiaridades. Neste sentido, clone e original são diferentes em alguns aspectos.......

      Mas como enxergar isto com os números????

      Pergunto isto porque, em princípio, o número 1 (canônico e Natural) parece ser o mesmo 1 (cópia canônica e Inteiro), assim como as propriedades canônicas dos números naturais parecem ser as próprias para os números inteiros. Se os números e propriedades forem os mesmos, soa estranho pensar numa cópia que não seja o próprio original......

      Ao meu ver, o erro a que vc se refere só parece fazer sentido se pudermos assumir que números e propriedades "originais" forem, em algum aspecto, diferentes de suas cópias canônicas. Mas como visualizar o seguinte????

      "Propriedades dos Números Naturais" é diferente de "Cópia Canônica das Propriedades dos Números Naturais"

      Não sei se consegui explicar minha dúvida.....

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    7. Leandro

      Infelizmente a educação, sobretudo em nosso país, é como a parábola do semeador: semeai-se muito e colhe-se muito pouco. Mas esteja certo de que se você for um bom semeador, os frutos serão ótimos.

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    8. Leandro

      Remeto você para a resposta que dei a Aanooniimoo em 14 de maio às 15:59h. Se não for suficiente, basta dizer.

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    9. Oi Adonai.


      Ainda não entendi bem o motivo pelo qual o conjunto dos naturais, por exemplo, não pode ser considerado um subconjunto dos inteiros.

      Pelo que entendi do texto que vc indicou na postagem e na resposta dada ao Aanooniimoo, partindo da seguinte igualdade:

      x + a = b

      o valor de "x" no contexto dos Naturais pode ser devidamente representado pelo conjunto de pares ordenados (a,b), de modo que se "x" for igual a "1" por exemplo, o conjunto de pares ordenados que representa este valor de "x" seria:

      (a,b) --> [(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), ...]

      e em se tratando de números inteiros, com a introdução de argumentos de simetria, seria também possível um outro conjunto de pares ordenados dado por:

      (a´,b´) --> [(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5), ...]

      que seriam representativos, por exemplo, do resultado "-1" para "x", que chamamos de números negativos, algo previsto nos Inteiros e que não aparece nos Naturais.

      Mas por que não se pode assumir os Naturais como subconjunto dos Inteiros se o conjunto de pares ordenados (a,b) que aparece nos Naturais é idêntico ao que aparece nos chamados Inteiros Positivos????

      Não consegui encontrar nas leituras qualquer indício de que os Inteiros Positivos seriam apenas uma mera "cópia canônica" dos Naturais, ao invés dos Naturais propriamente.

      Ao contrário, dada a argumentação na primeira página, o texto menciona abertamente que os Naturais podem ser considerados um subconjunto dos Inteiros ("This identification allows us to consider N as a subset of Z" - Página 2 do texto "Construction of Integers").

      Naturalmente, meu questionamento baseia-se apenas na leitura de alguém cujos conhecimentos em Matemática são obviamente bastante limitados, o que restringe fortemente meu senso crítico nestes aspectos.

      Sendo assim, peço paciência caso minha dúvida desperte a sensação de "puxa vida, como o cara ainda não entendeu algo tão fácil assim".

      Obrigado pelas dicas de leitura e esclarecimentos.

      Tem sido um ótimo exercício de raciocínio e senso crítico.

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    10. Ah, outra dúvida:

      levando em conta esta diferença entre Números Naturais e Cópia Canônica dos Números Naturais, seria possível dizer, por exemplo, que o número "1" natural é diferente do número "1" inteiro????

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    11. Leandro

      A questão central é *qualificação de discurso*. Se definirmos números naturais como aqueles construídos a partir do conjunto vazio e da operação S de sucessor (S(x) = x união {x}), então certamente nenhum subconjunto dos inteiros pode ser identificado com o conjunto dos números naturais. O 1 natural é apenas o conjunto {{}}, sendo que {} denota o conjunto vazio. Já o 1 inteiro é o conjunto infinito que você mesmo apresenta acima. São conjuntos distintos. Mas se admitirmos uma definição mais flexível para números naturais, que admita como número natural qualquer conjunto que pertença a qualquer modelo para os axiomas de Peano, então é possível sim admitir que o conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números inteiros. Em suma, antes de decidirmos se naturais são inteiros ou não, precisamos qualificar com cuidado o que são naturais e o que são inteiros. Só isso.

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    12. Huuumm, agora sim ficou mais claro para mim as diferenças.

      Acho que eu estava "procurando pêlo em ovo".

      Realmente, a definição do conjunto dos Naturais por meio da operação de sucessão neste esquema conjuntivo partindo do conjunto vazio em nada parece se assemelhar com aquele conjunto infinito de pares ordenados usados para o número 1.

      De fato, não parecem mesmo se encaixar, ou pelo menos uma relação direta e "imediata" não parece surgir entre eles, ao compará-los diretamente.

      Neste sentido, ficaria realmente estranho dizer que um conjunto definido pela operação de sucessão partindo do conjunto vazio (Naturais) seria um subconjunto de um conjunto definido de modo diferente, por meio de pares ordenados em uma sequência infinita (Inteiros).

      A menos que "baixemos a guarda" e passemos a aplicar os referidos axiomas de Peano, relevando e "ignorando" as sutilezas entre diferentes formulações e assumindo apenas o "resultado numérico" 1, independente de formulação, o que permitiria flexibilizar uma comparação entre Naturais e Inteiros e permitir assumir que este último contém os Naturais, neste contexto.

      Ironicamente, nunca em minha vida de estudante, alguém havia alertado para tais sutilezas.

      E agora que vc o fez, Adonai, creio que seja um pouco tarde para mim pois, como pode ver, foi mais difícil para que eu pudesse entender do que teria sido, digamos, 10 anos atrás.

      Parece que Tsallis tem razão em não aceitar para orientar pessoas com mais idade. À medida que envelhecemos, parece que nossa mente vai se "fechando".....

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  7. Prezado Adonai,

    Gosto dos seus posts. Aqui vão duas pequenas observações.

    > É um erro comum afirmar que todo número inteiro é racional

    Na SUA definição é um erro. É possível definir os números inteiros e racionais de forma que essa afirmação é verdadeira. O importante é ensinar aos alunos que definições são importantes, e que definições diferentes possuem propriedades diferentes. Não há uma definição/construção padrão. Entretanto algumas propriedades são esperadas. Por exemplo, ao exibirmos uma construção dos números naturais, é natural esperarmos uma demonstração que ela satisfaz os axiomas de Peano. Também é importante ensinar ao aluno a abstrair os detalhes de um construção. Isto é, ele deve evitar propriedades que são específicas de uma construção particular. Por exemplo, em algumas construções, 0 é definido como {}, e 1 é definido como {{}}. Nessa construção 0 é um membro do conjunto 1. Não é aconselhavel usarmos propriedades desse tipo, o objetivo é evitarmos que um resultado fique preso a uma construção específica. Eu acho interessante apresentar ao aluno multiplas construções, mostrar que definições matemáticas tentam capturar a nossa intuição sobre um determinado assunto, mostrar que várias definições aparentemente naturais possuem consequências não intuitivas e são contestáveis, mostrar que definições aparentemente diferentes são na verdade equivalentes. Outro exercício interessante: pedir aos alunos que definam um conceito não trivial (exemplo: número aleatório).


    > Como usualmente não se define divisão por zero, logo a divisão não é uma operação, mas apenas uma relação.

    Tratar divisão como um relação é horrivel na prática. Mesmo que um matemático deseje ser super rigoroso, existem várias formas de contornar esse problema. Por exemplo, podemos atribuir um valor arbitrário (não especificado) para divisão por zero. Eu digo “não especificado” para evitar que nenhum resultado dependa da escolha de um valor específico. Para um matemático familiarizado com teoria dos tipos, é natural definir divisão como uma função de três argumentos: o dividendo, o divisor e uma prova/evidência de que o divisor é diferente de zero.

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    1. Leonardo

      Sua primeira observação é perfeita! Esta questão já foi discutida no item 4 da postagem abaixo:

      http://adonaisantanna.blogspot.com.br/2012/02/algumas-curiosidades-logicas.html

      Aqui preferi seguir um caminho um pouco diferente.

      Com relação à sua segunda observação, a questão é um pouco mais delicada do que você aponta. Não há tanta liberdade na escolha do resultado de uma divisão por zero. Recomendo o livro Introduction to Logic, de Patrick Suppes. Há um capítulo exclusivamente sobre definições a la Lesniewski, no qual se discute detalhadamente o problema de divisão por zero.

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    2. Adonai

      No meu ponto de vista, Supps está apenas mostrando que não há consenso sobre divisão sobre 0. Isto é, não há uma solução universalmente aceita. Tecnicamente não há problema. Eu posso definir divisão como uma função e demonstrar que ela se comporta da forma esperada quando o divisor não é zero. Outros podem questionar se eu estou realmente definindo divisão ou não. Eu posso contra argumentar, mostrando que ela satisfaz as propriedades esperadas, e mostrando diversas vantangens práticas para pessoas que estão interessadas em usá-la nas suas próprias formalizações. Tratar divisão como uma relação não é conveniente para alguêm interessado em construções formais.

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    3. Leonardo

      Nem do ponto de vista da teoria de Lesniewski e nem do ponto de vista de outras teorias de definição (incluindo a de Tarski), a maneira usual de conceituar divisão como operação se qualifica sequer como definição. Esta questão independe de ponto de vista. Se o matemático insistir em definir divisão como operação, precisa dizer que divisão por zero (entre reais, por exemplo) é zero.

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    4. Adonai

      Quando alguém diz que divisão por zero não é possível, nós devemos interpretar a afirmação como: zero não tem uma inversa multiplicativa. Isto é, nós não podemos construir uma função que dado um número racional x, retorna um número racional z tal que 0 * z = x. Entretanto, é possível *definir* uma função, chama-la de divisão, e mostrar que para quaisquer (racionais) x e y, ela produz z tal que y * z = x SE y não é zero. Há muitas definições possíveis que garantem essa propriedade. Similarmente, é possível definir divisão para números inteiros. Isto é, definir uma função, chama-la de divisão (inteira), e mostrar que ela tem várias propriedades esperadas (exemplo: para todo x y, y <> 0 => (x * y) / y = x). Claro que, essa função não satisfaz a propriedade: para quaisquer (inteiros) x e y, ela produz um inteiro z tal que y * z = x. Volto a afirmar, definições são importantes, e tem consequências (as propriedades que elas possuem).
      É possível mostrar essas construções/definições para alunos de segundo grau, e discutir suas consequências. Acho que a aula ficaria ainda mais rica se essas construções fossem realizadas dentro de um assistente de prova (programas de computador) que checam as demonstrações providas pelo professor e alunos. Eu acredito que é mais interessante do que dizer simplesmente que divisão por zero não é possível, ou que divisão não é um função.

      Volto a afirmar que assumir que divisão é uma relação não é conveniente. Por exemplo, tente formalizar qualquer resultado não trivial assumindo que a divisão não é um função, mas uma relação. É possível? Claro que sim, mas será bastante doloroso.

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    5. Leonardo

      Apenas estude com cuidado o capítulo sobre definições no livro de Suppes que indiquei. Matemáticos, com muita frequência, não são tão cientes do que fazem quanto geralmente pensam.

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    6. Adonai,

      > Apenas estude com cuidado o capítulo sobre definições no livro de Suppes que indiquei.

      Esse não é um comentário muito construtivo. Você simplesmente ignorou a minha resposta :-)

      > Matemáticos, com muita frequência, não são tão cientes do que fazem quanto geralmente pensam.

      Qual é a relação dessa afirmação com o que eu disse?

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    7. Leonardo

      Não, eu não ignorei o que você disse. Pelo contrário, estou tentando ajudar. Você faz vários comentários que demonstram a necessidade de conhecer a referência que citei. Um deles envolve o emprego de condicional. Você afirma, por exemplo, "é possível *definir* uma função, chama-la de divisão, e mostrar que para quaisquer (racionais) x e y, ela produz z tal que y * z = x SE y não é zero." O que você propõe se caracteriza como uma definição condicional que, apesar do nome, não é uma definição. Viola o critério de eliminabilidade.

      Outro comentário que preocupa é o seguinte: "Quando alguém diz que divisão por zero não é possível, nós devemos interpretar a afirmação como..." Impor como devemos interpretar uma afirmação nada tem a ver com matemática. Para discutir com propriedade sobre essas questões faz-se necessário conhecer melhor teoria das definições. E não me refiro apenas aquela que Suppes expõe em seu livro. Mas já é um começo.

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    8. Adonai,

      > Você faz vários comentários que demonstram a necessidade de conhecer a referência que citei.

      Você não entendeu o meu ponto. Leia com cuidado a minha mensagen. Em nenhum momento eu defini divisão como a função que satisfaz

      “para quaisquer (racionais) x e y, ela produz z tal que y * z = x SE y não é zero."

      Eu apenas disse que essa é uma propriedade que a minha definição satisfaz.
      A idéia é primeiro definir a função, e então demonstrar que ela satisfaz as propriedades que estamos interessados. Essa é uma forma padrão de trabalho, e é utilizada por matemáticos interessados em produzir resultados formais.

      Você está confundindo a definição com as propriedades que a definição deve satisfazer.

      Sobre o critério de eliminabilidade, ele é usado em todos os assistentes de prova e sistemas formais modernos (incluindo o meu próprio sistema: https://leanprover.github.io/tutorial/index.html)

      > Outro comentário que preocupa é o seguinte: "Quando alguém diz que divisão por zero não é possível, nós devemos interpretar a afirmação como..."

      Eu não estou empondo nada. Meu objetivo foi tentar clarificar afirmações que você fez que podem gerar confusões. Eu vejo constantemente alunos confusos. Dizer que divisão por zero não é possível gera mais confusão e não clarifica nada. A essência da afirmação é: zero não tem uma inversa multiplicativa. Similarmente, afirmações do tipo:

      “ é um erro a afirmação muito comum de que os conjuntos …”

      também geram confusão. O meu ponto é que essa afirmação depende de como definimos o conjunto dos números naturais, inteiros, etc.

      > Para discutir com propriedade sobre essas questões faz-se necessário conhecer melhor teoria das definições.

      Eu acho que eu conheço um pouco :-)

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    9. Leonardo

      Estou tentando identificar o ponto de divergência nesta discussão. Esse negócio de troca de ideias por escrito tem seus limitantes.

      Existe um preconceito de associar divisão com inverso multiplicativo. E vejo que você insiste bastante na questão de inverso multiplicativo. Mas não há necessidade de definir divisão entre racionais de modo a depender única e exclusivamente de inverso multiplicativo. Este é um dos pontos cruciais para definir divisão entre racionais como uma operação e não como uma relação.

      Com relação a uma eventual confusão minha entre definições e propriedades que definições devem satisfazer... bem, esta afirmação é realmente estranha. Para identificar se uma fórmula é de fato uma definição, certamente é necessário saber quais propriedades uma definição deve satisfazer.

      A propósito, gostei muito do site que você indicou.

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    10. > Estou tentando identificar o ponto de divergência nesta discussão.

      Meu objectivo original era enfatizar a importância das definições e suas consequências.
      Várias afirmações que você fez no post só fazem sentido no contexto das definições que você usou.

      > Esse negócio de troca de ideias por escrito tem seus limitantes.

      Com certeza.

      Divisão por zero é um tema constante entre novos usuários de assistentes de prova. Alunos constantemente consideram divisão por zero como um assunto tabu.
      Eu tento enfatizar que nós podemos definir o que quizermos, e então mostramos que a nossa definição satisfaz as propriedades que estamos interessados.

      O foco no inverso multiplicativo é apenas uma tentativa de justificar afirmações do tipo: “divisão por zero é impossível”. A idéia é mostrar onde a impossibilidade se encontra. Ela não é a única propriedade relevante para divisão. No seguinte link temos uma lista de propriedades para divisão https://github.com/leanprover/lean/blob/master/library/algebra/field.lean#L30. No nosso sistema, divisão por zero para os números racionais é zero https://github.com/leanprover/lean/blob/master/library/data/rat/basic.lean#L114, mas ainda assim todas as propriedades no link anterior são satisfeitas pela nossa definição quando mostramos que os racionais são um discrete field https://github.com/leanprover/lean/blob/master/library/data/rat/basic.lean#L371

      > Para identificar se uma fórmula é de fato uma definição, certamente é necessário saber quais propriedades uma definição deve satisfazer.

      Eu diria: para identificarmos se uma definição é *adequada*, nós devemos saber quais propriedades ela deve satisfazer. Por exemplo, suponha que eu defina uma função div(x, y) tal que div(x, y) = x para todo x e y. Com certeza essa é um definição. Mas ela não satisfaz as propriedades esperadas para divisão. Nós podemos dizer que essa é uma definição *inadequada* ou *incorreta* para a divisão, mas ela não deixa de ser uma definição.

      BTW, eu acho também importante justificar para os alunos o motivo pelo qual essas propriedades são interessantes.

      > A propósito, gostei muito do site que você indicou.

      Obrigado, como você, eu me interesso muito por educação. O material do site é de um curso que oferecemos nesse semestre. Nós estamos desenvolvendo uma versão para um curso de introdução a lógica no ano que vem. Meu objetivo é um dia ter uma versão para alunos do segundo grau.

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    11. Leonardo

      Achei interessantíssimo esse assistente de prova. De fato não conhecia esse tipo de site. Fiquei interessado no material deste curso também. Poderia fornecer gentilmente uma cópia quando ficar pronto Deste já grato.

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    12. Hugo,

      Obrigado pelo interesse. O sistema é software livre (http://leanprover.github.io/). Todo o material (código, executaveis, manuais) está disponível online: https://github.com/leanprover. Contribuições são bem vindas.

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    13. Leonardo

      Lamento, mas cada vez mais sinto que estamos falando de assuntos diferentes. Você usa uma terminologia que não corresponde nem com a teoria de Lesniewski e nem com a de Tarski. Um exemplo é o emprego do termo "definição adequada". Outro exemplo ocorre quando você garante que uma determinada fórmula é uma definição. Na teoria de Lesniewski, por exemplo, exige-se que toda definição seja não-criativa (além de eliminável). Em geral, essa exigência não permite garantir que uma fórmula é, de fato, uma definição. Este é um ponto muito delicado em lógica.

      Mas, apesar disso, realmente gostei muito de seu trabalho. Em algum momento pretendo examinar com mais cuidado.

      Aliás, você teria interesse em escrever uma postagem para o blog sobre este assistente de prova?

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    14. > Lamento, mas cada vez mais sinto que estamos falando de assuntos diferentes. Você usa uma terminologia que não corresponde nem com a teoria de Lesniewski e nem com a de Tarski.

      Eu também lamento.

      > Um exemplo é o emprego do termo "definição adequada".

      Eu estou tentando evitar termos técnicos. Achei que a palavra “adequada” fosse clarificar. A idéia informal que tentei exprimir é: uma definição é adequada para uma coleção de propriedades quando ela satisfaz as propriedades.

      > Outro exemplo ocorre quando você garante que uma determinada fórmula é uma definição. Na teoria de Lesniewski, por exemplo, exige-se que toda definição seja não-criativa (além de eliminável).

      O sistema é baseado na teoria de tipos dependentes. As definições são não-creativas e elimináveis. Eu tentei em todas as mensagens evitar notação formal para não criar ainda mais confusão. Eu usei formulas somente para descrever as propriedades das funções. Eu achei que a notação usada para formulas é bem conhecida e evitaria confusão. Tecnicamente a função div da mensagem anterior seria definida como

      definition div := fun x y, x

      onde (fun x y, x) é um lambda termo. Nós podemos eliminar div, isto é troca-lo por (fun x y, x) em qualquer termo. O termo técnico para essa operação é delta-reduction. Definições são superfulas em teoria dos tipos, e podem ser eliminadas. Na prática, elas são essenciais por motivos de eficiencia e para ajudar o ser-humano usando o sistema.

      Voltando a palavra “adequada”, a definição acima não é adequada para divisão por que ela não satisfaz a propriedade

      para todo x y, y <> 0 => y * div(x, y) = x

      pq ao eliminarmos div usando a definição acima, obtemos

      para todo x y, y <> 0 => y * x = x

      Historicamente podemos dizer que a teoria dos tipos dependentes começa com a teoria de tipos simples de Church. A grande maioria das idéias da teoria dos tipos dependentes foi desenvolvida no fim dos anos 60 por de Bruijn, Per Martin-Lof nos anos 70 fez grande contribuições. Calculus of Constructions apareceu nos anos 80. Hoje em dia, Homotopy Type Theory promete revolucionar como a matemática é desenvolvida.

      Eu acho que essa teoria é relevante para educação pq podemos ensinar aos jovens a programar e demonstrar teoremas ao mesmo tempo. Indução e recursão são manifestações do mesmo principio.

      > Mas, apesar disso, realmente gostei muito de seu trabalho. Em algum momento pretendo examinar com mais cuidado. Aliás, você teria interesse em escrever uma postagem para o blog sobre este assistente de prova?

      Obrigado pelo convite. Vou tentar em breve.

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    15. Leonardo

      Finalmente comecei a me localizar sobre o que você está falando. Peço que indique uma referência a respeito de não-criatividade em definições, sob o ponto de vista de teoria de tipos. Aquilo que estudei sobre tipos não sustenta qualquer garantia de não-criatividade. Quero ver isso de perto.

      Enquanto isso, fico aguardando a sua contribuição para o blog. Será algo realmente importante.

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    16. A palavra chave é delta-reduction. O seguinte livro explica como tratar definições no Calculus of Constructions, e descreve delta-reduction.

      Type Theory and Formal Proof: An Introduction
      By Rob Nederpelt, Herman Geuvers

      Essas idéias já estavam presentes no Automath desenvolvido por de Bruijn no fim dos anos 60.

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    17. Leonardo

      Grato pela informação. Examinarei.

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  8. Prof. Adonai, poderia explicar o significado de "cópia canônica" no seu contexto? Obrigado.
    AAnooniimoo

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    1. AAnooniimoo

      Não há uma definição formal abrangente o bastante para se referir ao conceito de cópia canônica. Este é um termo usual de apelo meramente didático. Um cópia canônica dos números naturais entre os inteiros, por exemplo, se caracteriza como um subconjunto dos inteiros que satisfaz os axiomas de Peano, de modo a escolhermos uma definição simples e intuitiva para o conceito de Sucessor entre inteiros. Por exemplo, a classe de equivalência {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), ..., (n, n), ...} é canonicamente identificada com o número natural zero. Isso porque tal classe de equivalência é o número inteiro zero. Neste contexto, o sucessor de um inteiro z pode ser definido simplesmente como z+1, sendo 1 a notação para o neutro multiplicativo dos inteiros e + a adição entre inteiros. Recomendo que confira o link correspondente, indicado na postagem.

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  9. Então quando o professor da quinta série diz que todo número natural é inteiro, o que ele quer dizer é que existem:
    Um subconjunto próprio S dos inteiros Z;
    Uma bijeção f entre os naturais N e S tal que, se um predicado P sobre um subconjunto C de N pode ser deduzido a partir dos axiomas que definem N, P pode ser deduzido sobre f(C) a partir dos axiomas da definição de Z.

    Esse subconjunto S é o que o senhor chama de cópia canônica?

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    1. Igallindo

      Jamais sei o que uma pessoa quer dizer. Só consigo prestar atenção no que efetivamente dizem.

      Se entendi o que você sugere, parece-me que você está tentando aplicar um quantificador lógico sobre predicados. Se for este o caso, não há como, pois estamos tratando de linguagens de primeira ordem.

      Aproveitando o que você escreveu, poderíamos dizer que existe uma bijeção f de N em S (a cópia canônica de N em Z), de modo que (i) f(0) = 0 (o primeiro zero é natural e o segundo é inteiro), (ii) f(m+n) = f(m) + f(n) (a primeira adição é entre naturais e a segunda é entre inteiros) e (iii) f(m.n) = f(m).f(n) (a primeira multiplicação é entre naturais e a segunda é entre inteiros).

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  10. Existe um livro em português chamado "A Construção dos Números" de Jamil Ferreira.

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  11. Existe uma questão sobre a matemática ser contruída ou descoberta.

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    1. Acho que as duas coisas. Penso que descobre-se propriedades do que se constrói (ou do que se inventa).

      (Brasileiro)

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    2. (Brasileiro)

      Esta é uma questão ainda em aberto.

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    3. Adonai
      Não creio que esteja em aberto, se pensarmos na matemática pura.
      A matemática pura é criação!
      Pode até ser induzida ou ser inspirada em algo existente, no entanto é pura abstração.

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    4. Mariia

      Mariia, a matemática parece estar fortemente comprometida com modos humanos de percepção do mundo. E, se for o caso, é bem possível que toda a matemática consiste simplesmente de descoberta a respeito de aspectos humanos. Há algumas evidências disso, como a noção de individualidade e o fato de certos modos de inferência serem mais comuns do que outros. David Ruelle escreveu um artigo interessante sobre o tema: http://www.ma.utexas.edu/mp_arc-bin/mpa?yn=98-483

      Este artigo foi publicado no livro Mathematics and Frontiers, editado por Arnold et al. e publicado pela AMS em 2000.

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    5. Adonai

      Creio que nesse caso não estamos falando sobre a mesma matemática, a minha afirmação seria sobre o que entendo como matemática pura, considero que o que você está falando já pertence a aplicada. Li o texto e achei interessante, teria dificuldade em leva-lo a sério pelo título. Mesmo após essa leitura continuo com a mesma ideia. Não vejo a matemática como algo a ser descoberto no universo vejo ela como uma linguagem conveniente para descrevê-lo. Sei que podemos pensar na matemática de várias formas, gosto em particular da abordagem do Santaló, L. A., da matemática como técnica, arte, filosofia ou ciência. A essas quatro interpretaçõesl acrescento ainda a que considero a principal que é a interpretação dela como linguagem.

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    6. Este texto sempre é bem-vindo nesse tipo de discussão:

      A Implausível Eficácia da Matemática nas Ciências Naturais
      EUGENE F. WIGNER
      Princeton University

      http://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/wigner/

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    7. Kynismós

      Obrigada pela indicação.

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  12. Adonai

    Uma coisa que me intriga é a abordagem dada ao infinito. Na minha visão ingênua e indutiva, talvez devida a minha formação como física, consigo ver o infinito como qualquer outro número natural, ou real (no caso dos números reais).
    Na definição dada acima dos números naturais eu não posso incluir o infinito?
    Observo uma forma estranha de abordagem nos textos: tanto aparece que 1/x, quando x tende a zero, não existe, como por outro lado na hora de traçar o gráfico 1/x, quando o x tende a zero, tende ao infinito.
    Sei que existe ideais diferentes de infinito de acordo com as escolas filosóficas, mas não consigo ver nenhum problema em aceitar a existência desse número, o que evitaria uma série de controvérsias. (Evidentemente é uma visão de alguém que está apenas engatinhando em fundamentos da matemática…)

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    1. Mariia

      Limites infinitos, em cálculo diferencial e integral, são apenas casos particulares de limites que não existem. Jamais podem ser identificados com números reais. No entanto, em análise não-standard (ramo da matemática criado por Abraham Robinson) desenvolve-se uma forma alternativa de cálculo diferencial e integral a partir de números hiperreais. E, entre hiperreais, existem tanto infinitésimos (números positivos menores do que qualquer real positivo) quanto números infinitos (números positivos maiores do que qualquer real). Espero ter ajudado.

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    2. Adonai

      Obrigado, tens uma referência extra, de preferência on-line, para me indicar sobre os números hiperreais?
      Eu tenho de fato uma certa atração pelos infinitésimos e infinitos.
      Mas, em relação ao infinito ser um número natural ou real, eu não consigo ver a diferença entre um número qualquer n e o infinito. Evidentemente não estou pensando nos encantadores transfinitos de Cantor. Mas se eu pensar num número natural muito grande N, e agora fizer o N igual a infinito, ele fica identificado com um número natural. Onde está a falha?
      Por outro lado, quando estudei cálculo diferencial e integral com o Léo Barsotti ainda eram utilizados os infinitésimos.
      Como poderia ter acesso ao seu livro "O que é um conjunto?" ?

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    3. Mariia

      No link abaixo há algumas referências muito boas sobre análise não standard.

      http://mathworld.wolfram.com/NonstandardAnalysis.html

      Com relação ao infinito entre números naturais, a situação é a seguinte: o conjunto dos números naturais é infinito; no entanto, nenhum número natural é infinito (em qualquer acepção); isso porque se n é um natural, então seu sucessor S(n) é necessariamente diferente de n. Se infinito pudesse ser um número natural, então infinito + 1 teria que ser diferente de infinito, o que não faz sentido em qualquer concepção usual sobre infinitudes.

      Sobre o livro O que é um Conjunto, assim que eu tiver acesso ao meu computador de casa, envio o arquivo pelo Facebook.

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    4. Adonai

      Esse link eu vi no teu texto, vou ver o que consigo acessar das referências.

      Acredito que estou entendendo um pouco melhor o dito do infinito. A questão é que quando penso e falo no infinito
      imagino o infinito não como número transfinito, mas simplesmente representando um número muito grande. No entanto, para adotar o meu infinito acredito que precisaria algo semelhante ao terceiro postulado afirmando que o meu infinito não tem sucessor… Mas de qualquer forma ainda preciso aprender mais.

      Obrigada, vou aguardar o livro.

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  13. Professor Adonai

    O que o senhor acha das aulas de aperfeiçoamento do ensino médio do IMPA? Pergunto isso porque as definições usadas são as que o senhor citou como errada.

    Um amigo meu me contou uma certa vez que o professor dele de variáveis complexas disse que o 4 não é um número complexo e isso criou um desconforto na aula ao ponto de alguns alunos desistirem dessa disciplina. Poderia fazer uma analise dessa afirmação?

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    1. suzy

      O IMPA faz um trabalho magnífico e com resultados realmente ótimos. Mas a visão matemática dominante (há exceções, como Marcelo Viana) é exageradamente limitada. Talvez, no futuro, quando o IMPA conquistar uma posição de genuína independência intelectual, se transforme em uma instituição que realmente valorize o pensamento original. Mas, por enquanto, é uma instituição que tenta seguir o exemplo do que se faz em países desenvolvidos. É muito difícil se livrar da chaga brasileira.

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  14. Caro Professor

    A postagem foi realmente muito clara e bem estruturada , parabéns. Gostei muito do tratamento de conjuntos numéricos como funções, já havia visto essa notação para complexos e , pessoalmente , a acho muito mais elegante e interessente. Mas como demonstrar a validade de "(r, s).(t, u) = (r.t-s.u, r.u+s.t)" ?

    Grato.

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    1. Correção: Gostei muito do tratamento de conjuntos numéricos como pares ordenados.

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    2. Lucas

      Não sei o que você entende por "validade de uma definição". A fórmula que você questiona é uma definição para multiplicação entre números complexos, de modo a atender as propriedades algébricas desejadas pelo matemático (Teorema Fundamental da Álgebra). Mas se você procura por uma visão intuitiva para tal fórmula, recomendo o link abaixo:

      http://experienciasnamatematica.blogspot.com.br/2010/06/por-que-i-1.html

      Grato pelo apoio.

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  15. Professor,

    Lendo a sua conversa com o Leonardo de Moura e, naturalmente, por motivos que esclarecerei mais adiante, não entendendo quase nada, fiquei intrigado com as menções a diferentes teorias da definição, coisas sobre as quais eu nunca tinha ouvido. Peço que o senhor indique uma referência introdutória sobre o tema, que seja adequada a um iniciante em lógica (se algo do tipo existir, é claro) - até agora, a respeito de lógica, só sei o que me foi ensinado em um curso de lógica básica da minha universidade (Cálculo Quantificacional Clássico, basicamente, com menções "poéticas", digamos, a alguns metateoremas).

    Antônio.

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    1. "...(se algo do tipo existir, é claro)..."
      Por 'algo do tipo', eu me refiro a 'referência introdutória sobre o tema', e não a 'iniciante em lógica'.

      Antônio.

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    2. Antônio

      Envie e-mail para adonai@ufpr.br e poderei mandar vasta lista de referências sobre o tema.

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  16. “Quando um autor se refere ao racional 3,00000... através do símbolo 3, está apenas apelando para uma notação abusiva.”

    Adonai, não seria correto se referir ao racional pelo símbolo 3? Pois a definição de racionais que você deu não entra no mérito da notação, então no meu entendimento a notação é independente do conceito de racional.

    Ficou claro seu ponto de que o número inteiro 3 não é igual conceitualmente ao racional 3,000..., mas eu não entendi porque um número racional deve se prender à forma 3,000... e não pode ser escrito também como 3 sem que isso seja um “abuso de notação” (e, nesse caso, seria correto dizer que o racional 3 é o mesmo racional 3,000..., tanto no sentido que eles representam o mesmo número, quanto no que ambas as representações são equivalentes).

    Não sei se ficou claro minha questão.

    De qualquer forma, acompanho o Matemática e Sociedade já há algum tempo e acho que essa é a primeira vez que comento. Gostaria de parabenizá-lo por mais um excelente texto e desejo que continue com seu ótimo trabalho.

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    1. danillonunes

      Se compreendi sua questão, o ponto é o seguinte: o emprego de uma mesma notação para conceitos distintos é necessariamente abusivo no sentido de que pode gerar confusão. Só isso.

      Grato pelo apoio. E espero ver mais comentários seus por aqui.

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  17. Queria saber se a Teoria dos números já está esgota. Já ouvi muito matemático falar isso.

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    1. Anônimo

      Teoria dos números não é especialidade minha. Mas vejo com muita estranheza a afirmação de que esta área do conhecimento estaria esgotada. O diálogo de teoria dos números com teoria-K, computação quântica, geometria e álgebra tem rendido publicações recentes e interessantes. Dá uma olha, por exemplo, no link abaixo:

      http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html?t=&s=number+theory&btn=Search&ls=s

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    2. Anônimo
      Participei em junho de um congresso que apresentou uma série de desenvolvimentos e aplicações da teoria de números:
      International Conference in Number Theory and Physics
      http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/store_old/evento_1504 .
      e está previsto outro no IMPA:
      2nd Workshop on Combinatorics, Number Theory and Dynamical Systems
      http://www.impa.br/opencms/en/eventos/store/evento_1511 .


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