segunda-feira, 11 de fevereiro de 2013

Alguns esclarecimentos sobre cálculo diferencial e integral



O volume de comentários relativos ao artigo recentemente publicado em Scientific American Brasil sobre as universidades federais tem crescido muito, não apenas neste blog, mas em mensagens do facebook, e-mails e conversas pessoais. Enquanto eu for capaz de acompanhar tais discussões, tentarei responder a todos. O presente texto trata de um dos assuntos mencionados no artigo e que mais gera confusões entre alunos e professores universitários: cálculo diferencial e integral.

Eu já havia postado algumas considerações sobre esta fundamental disciplina estudada em cursos de matemática, física, química, ciências biológicas, economia, engenharias, entre outros. No entanto, está mais do que claro que o assunto está longe de ser esgotado.

Faço a seguir quatro esclarecimentos muito breves sobre cálculo diferencial e integral (que podemos chamar abreviadamente de cálculo). Há muitos erros cometidos em sala de aula e promovidos principalmente por professores.

1) Objetivos do estudo de cálculo diferencial e integral. Os objetivos do estudo de cálculo dependem dos propósitos pessoais ou profissionais de quem estuda esta matéria. Se o estudante tiver uma índole mais matemática, a meta final é a compreensão e o domínio de equações diferenciais. Se o estudante estiver mais interessado em aplicações, o objetivo é o emprego de equações diferenciais para modelar fenômenos do mundo real que envolvem noções intuitivas de taxas de variação. Ou seja, de uma forma ou de outra o cálculo não é uma meta em si, mas um ponto de partida no estudo ou aplicações de equações diferenciais. Estudar cálculo sem um estudo posterior sobre equações diferenciais é uma postura que simplesmente não faz sentido. Usualmente o cálculo se fundamenta em dois conceitos importantes: derivação e integração. No estudo de cálculo de funções reais de uma variável real, uma derivada de uma função em um ponto é, intuitivamente falando, uma taxa de variação. Essa taxa de variação pode ser empregada para modelar localmente um fenômeno físico. Em seguida, através do processo de integração, é possível resgatar o comportamento global (em um domínio estabelecido) do sistema modelado. O teorema fundamental do cálculo, uma das mais importantes conquistas da história da ciência, permite estabelecer a surpreendente e íntima relação entre derivadas e integrais. Cito um exemplo simples. Considere o decaimento radioativo de uma substância ou elemento qualquer. Empregando derivadas é possível modelar este sistema físico da seguinte forma: a taxa de decaimento do material radioativo é diretamente proporcional à massa deste material. Em outras palavras, quanto maior a massa, maior o decaimento. Esta modelagem remete a uma equação diferencial que, graças ao teorema fundamental do cálculo, pode ser resolvida via integração. A solução de tal equação diferencial é uma função que permite prever quanta massa restará do material radioativo em (praticamente) qualquer intervalo de tempo que se queira. 

2) O conceito de cálculo diferencial e integral. Sempre suspeite do uso de artigo definido em matemática! Não existe o cálculo. Existe sim uma miríade de cálculos. No cálculo usualmente lecionado nas graduações brasileiras são definidas derivadas e integrais como casos particulares de limites de certas funções. Mas esta não é a única forma de estudar cálculo. Em análise não standard, por exemplo, uma derivada é uma razão entre infinitésimos. Ou seja, não se define derivada como um caso particular de limite. Em teoria da medida (outro exemplo) é muito comum o emprego de integrais de Lebesgue, conceito muito diferente de integral de Riemann, normalmente estudada nas graduações brasileiras. Certas funções que podem ser integradas por Lebesgue não podem ser integradas por Riemann. Além disso, existem outros conceitos de integração na literatura: Haar, Kurzweil, Henstock-Kurzweil, entre muitos outros. A escolha sobre o estudo específico de um tipo especial de cálculo novamente depende dos propósitos do estudante ou do pesquisador. Por isso o contato com pesquisadores experientes é importante. Cabe a pesquisadores a orientação dos mais jovens, conforme seus interesses de aplicações e pesquisas.

3) Infinito. Um dos conceitos menos compreendidos por alunos e até mesmo professores de matemática neste país é a noção de infinito. Já vi até mesmo pesquisadores experientes (fora do Brasil) afirmarem, por exemplo, que cinco dividido por infinito é zero, ou que cinco dividido por zero é infinito. Este é um erro simplesmente grotesco. Infinito não é número! Além disso, não existe em matemática o conceito de infinito. Existem sim os seguintes conceitos: conjunto infinito, limite infinito, limite no infinito, cardinalidade transfinita, infinitesimal, entre outros. Cada um desses conceitos deve ser estabelecido em seu devido contexto. Considere, por exemplo, a função f(x) = 5/x, definida sobre o domínio de todos os números reais, exceto o zero. O limite desta função f(x) com x tendendo ao infinito é zero. O que isso significa? Significa simplesmente que para qualquer épsilon real estritamente positivo existe um delta real estritamente positivo tal que se x for maior do que delta, então o valor absoluto de f(x) é menor do que o épsilon dado. Observe que, quando se explica o significado do limite, jamais há menção alguma a qualquer noção de infinito. Quando o matemático escreve que um dado limite é igual a infinito, está cometendo um abuso de notação. Isso porque a igualdade, neste contexto, é uma relação definida para números reais. E infinito não é um número real. Não se pode estudar matemática quando estudantes e professores confundem conceito com notação. 

4) Infinitésimo. Este é outro conceito irresponsavelmente difundido por professores desta nação. Infinitésimo, por definição, é um número estritamente positivo (maior do que zero), porém menor do que qualquer número real estritamente positivo. Portanto, infinitésimo não é um número real! É bem sabido que números complexos estendem números reais, no sentido de que todo número real pode ser considerado com um caso particular de número complexo. No entanto, existem outras extensões dos números reais, como os números hiperreais. Infinitésimos são casos particulares de números hiperreais que não são reais. E números reais também podem ser considerados como casos particulares de números hiperreais. O estudo dos hiperreais faz parte de um ramo da lógica matemática conhecido como análise não standard, que corresponde a um tipo muito específico de cálculo diferencial e integral. Na análise não standard uma derivada é a parte standard de uma razão entre infinitésimos. Essa parte standard corresponde a um número real. Quando um físico, em suas contas, considera um infinitesimal de massa dm, só vejo duas possibilidades: (i) ele conhece muito bem análise não standard e, portanto, deve saber o que está fazendo ou (ii) ele conhece apenas cálculo diferencial e integral padrão e não tem a mínima ideia sobre o que está fazendo. Do ponto de vista didático, geralmente os discursos sobre infinitésimos podem ser substituídos por discursos envolvendo diferenciais, este sim um conceito usual do cálculo padrão.

O leitor não deve se iludir com a possibilidade de compreender bem cálculo diferencial e integral a partir dessas breves observações. Meu propósito aqui é apenas alertar que, muito frequentemente, há algo de podre nas aulas de graduação em que professores aplicam e até ensinam o cálculo. 

Quem se limita a estudar apenas aquilo que é pregado em sala de aula está inevitavelmente fadado à ignorância. 

46 comentários:

  1. Professor, obrigado pelos esclarecimentos a respeito do cálculo. Poderia por gentileza sugerir boa literatura do assunto?
    Obrigado!

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    1. Cesar

      Um livro de cálculo que realmente gosto é o de Richard Courant. Há uma tradução para o português em

      http://www.ebah.com.br/content/ABAAAepxMAH/richard-courant-calculo-diferencial-integral

      Sobre infinitésimos e análise não standard você encontra informações relevantes no link abaixo.

      http://mathworld.wolfram.com/Infinitesimal.html

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  2. Existe a crença geral entre nós físicos (eu me incluo) de que o progresso da física deve ser mais rápido que o desenvolvimento da matemática. Uma conclusão correta é valorizada mesmo se sua argumentação é de validade duvidosa e eu conheço alguns exemplos históricos disso, entre eles o próprio surgimento do(s) cálculo(s). Obviamente isso não justifica erros como os instanciados neste post, mas foi só pra deixar claro esse ponto.

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    1. Leonardo

      A maior parte de minhas contribuições foi publicada em periódicos de física. Conheço bem o modo de pensar dos físicos. E entendo esta postura, até certo ponto, quando o assunto é pesquisa. Mas o que me preocupa é o ensino de física. E me preocupa mais ainda quando vejo loucuras lecionadas até mesmo do ponto de vista físico e não apenas matemático.

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    2. Concordo, professor. De fato, é necessário saber as regras antes de poder transgredi-las. Quem ensina errado, além de ser ignorante, perpetua sua ignorância às gerações seguintes, o que é extremamente maléfico.

      Parabéns por textos como este, que nos ajudam a perceber (alguns já me ajudaram) a nossa ignorância em relação a temas que pensamos ter domínio completo.

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    3. Leonardo, muito bom vê-lo escrever isso, diferentemente de muitos você não se intoxicou na torre de marfim...

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  3. Adonai


    na minha época de graduação em Química, usávamos muito os livros do Leithold, Swokowski e Guidorizzi.

    Entretanto, falava-se que quem realmente quisesse se aprofundar para valer mesmo no Cálculo Diferencial e Integral, a literatura mais recomendada seria a de um tal de Tom Apostol, mas que seria de difícil compreensão para um graduando do primeiro ano.

    Estes livros que mencionei são bons??????

    E o livro do Apostol é realmente fantástico como davam a entender??????

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    1. Leandro

      Todo livro de matemática apresenta limitações. Os livros que você menciona são toleráveis, nada além disso. A recomendação que sempre faço é a seguinte: compare a literatura especializada e pense criticamente sobre ela, discutindo com profissionais experientes na área. É mais produtivo discutir aspectos pontuais do cálculo do que tentar indicar livros confiáveis.

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    2. Olá Adonai, mas o livro do richard courant para um iniciante, no caso quem nao tem noção alguma de calculo, mas tem de matematica elementar (funções etc), é bom para começar um estudo de calculo?

      Outra pergunta, qual a diferença de calculo diferencial e integral para analise na reta?

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    3. Daniel Motta

      Se for o caso, basta o estudante começar seus estudos em uma obra mais elementar, de acordo com o seu gosto pessoal. Mas em algum momento seria altamente recomendável que ele conhecesse a obra de Courant.

      Com relação à sua pergunta, cálculo diferencial e integral é uma disciplina que se destina ao estudo de equações diferenciais. Já a análise da reta é uma fundamentação para um ramo específico do cálculo, que se refere somente ao domínio dos números reais.

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  4. Infelizmente, isso não é limitado àpenas ao cálculo diferencial e integral. Acredito que desde antes do ensino médio, os professores ensinaram os alunos a se limitarem aos conteúdos somente da sala de aula, fazendo que não questionassem ou buscassem algo a mais. Meus professores mesmo acreditavam que o silêncio em classe significava o compreedimento da matéria. Dessa forma, com a maioria dos conceitos ensinados de forma errônea, o aluno chega à graduação sem, de fato, entender o que significa, por exemplo, uma equação linear, uma matriz, de onde surgiu tal fórmula e por quê se calcula dessa forma. Em suma, o estudante chega à universidade sem ter ponto de partida: conclui que nada sabe, pois terá de voltar atrás para aprender o que não aprendeu, em vez de seguir em frente e adquirir mais conhecimento. Um exemplo que lembrei agora mesmo: eu estava na aula de química, no ensino médio, e o professor passava a nomenclatura de muitos hidrocarbonetos. De repente, ele falou sobre algumas substâncias alotrópicas um tanto excêntricas como o Buckminsterfulereno. Eu e o resto da turma, por nossa ignorância, nunca perguntamos o motivo dele ter esse nome, já que os outros seguiam um padrão. Por mais que seja algo simples, a resposta para essa pergunta poderia despertar uma coisa a mais do que a ciência de sua etimologia, despertaria uma curiosidade para saber quem foi e o que fez Richard Buckminster Füller, coisa que eu mesmo descobri há pouco tempo. Outro exemplo no mesmo ensino médio: o professor quis adiantar o conteúdo da faculdade mostrando como resolver derivadas e integrais. Ele, simplesmente, apenas escreveu no quadro uma fórmula para resolvê-las, dando questões simples como qual é a derivada de 2x? Respondíamos: "2". Somente desse jeito. Não tenho o domínio do cálculo ainda em minha graduação, mas esse, definitivamente, não é o conceito de derivadas e integrais. A consciência de que somos ensinados de forma errada e que o conhecimento não é somente "assistir à aula, comportar-se e não precisar praticar" (palavras de um professor de geografia que tive), quando vem é um tanto tardia. Apesar disso, creio que a vontade de saber pode ser maior do que essas demonstrações de "misoneísmo". Como disseste corretamente, professor Adonai, "quem se limita a estudar apenas aquilo que é pregado em sala de aula está inevitavelmente fadado à ignorância".

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    1. José Carlos

      Sempre uso um truque em sala de aula. Após a exposição da matéria, pergunto aos alunos se eles têm alguma dúvida. É claro que afirmam terem compreendido tudo. Em seguida começo a fazer perguntas críticas sobre o conteúdo exposto, às quais eles não conseguem responder. Ou seja, tento mostrar que eles têm medo de fazer perguntas. No entanto, tem sido cada vez mais difícil convencê-los a questionar minhas aulas. Não é fácil vencer a inércia do medo.

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    2. É um grande desafio, fazer com que alunos abram mão de sua inércia "bovina", para realmente participarem de uma aula. Parece exatamente isto - eles não se acham no direito, nem no dever, de participarem.

      Recentemente me caiu uma ficha (termo antigo, que revela minha idade!), de que muitos de meus colegas mais inteligentes, eram dotados do que chamo de "mente ativa" - um pensar altamente dinâmico, eventualmente até sintonizado, mas jamais inerte.

      - Ora elaborando as analogias mais esdrúxulas com os conceitos apresentados;
      - Ora procurando aplicações práticas deste mesmo conceito;
      - Conectando a aula com as matérias anteriores, os pré-requisitos;
      - Procurando por erros, lacunas ou contradições (a ponto de achar alguns, meio "cri-cri" demais)

      Engraçado foi perceber que este "estado mental", não é restrito a um cenário de professor-aluno. Conheço pessoas que memorizam detalhadamente, e profundamente, cenas de filmes, novelas e trechos de música, exatamente cultivando esta mesma atitude e dinâmica em diferentes ambientes.

      Eu imagino que, o maior problema hoje, não é restrito a um ator ou elemento (conteúdo, professor, aluno), mas sim, às interações e na dinâmica entre eles, o chamado processo.

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    3. Lívio

      O que você escreve faz lembrar o questionamento de David Copperfield: serei o herói de minha própria vida? Muitas pessoas neste mundo parecem náufragas de suas próprias vidas. É como se vivessem perenemente à deriva.

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  5. Caro Adonai,
    o que me parece relevante aqui é adotar uma postura crítica frente as aulas de cálculo, o que é em geral difícil para o estudante no início da graduação, haja vista o despreparo para isso no ensino médio. Outro aspecto que considero importante é a história do cálculo, que tenho a impressão, não nasceu pronto das mãos de Newton ou Leibinz. Por exemplo, recentemente ouvi falar da construção de um cálculo paraconsistente.
    Cordialmente,
    Gilson Maicá.

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    1. Gilson

      O cálculo diferencial e integral nasceu no século 17. No entanto, o conceito conjuntista de função (hoje empregado em cálculo) surgiu somente no século 20. Portanto, certamente o cálculo não nasceu pronto das mãos de Newton e Leibniz. Ele se desenvolve até os dias de hoje.

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  6. Olá Prof.,

    Sou grata pelo seu texto! Sou aluna do curso de física e faço parte do Programa de Educação Tutorial (PET) da minha universidade. Eu nunca me interessei em ir mais a fundo nos estudos de matemática (leia-se: nunca tive motivação "interna" - aquela que temos para estudar algo), sempre a usei como ferramente para estudos de física (esse sim é meu maior objeto de estudo e interesse).

    Porém, sendo aluna do PET, entre outras atividades temos a atividade de ensino (que gosto bastante) e já ministrei aulas de cálculo para calouros. O que foi ensinado nas minhas aulas foi exatamente a visão do cálculo que temos na universidade. Ler o seu texto me fez abrir a mente e enxergar como a matemática como ciência fundamental pode contribuir com a física e não servir de simples ferramenta. Vou pesquisar e estudar mais sobre o assunto.

    O que acontece é que agora estou em um dilema: sabendo que a visão do cálculo dada na universidade é extremamente restrita e equivocada, o que eu faço? Essa é a única visão que eu tenho no momento, não quero tentar ensinar para os alunos algo que eu desconheço. Penso em ensinar o que sei, mas com a ressalva "estejam certos de que isso não é um modo correto de se ver o cálculo", porém vou estar falando de algo que certamente desconheço.

    Att.,
    Laura.

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    1. Laura

      Se você deixar claro aos seus alunos que a visão apresentada sobre cálculo (em sala de aula) é apenas uma entre infinitas abordagens possíveis, já estará fazendo muito mais do que a vasta maioria dos professores deste país.

      Todo professor comete erros em sala de aula. Isso é simplesmente inevitável, não apenas por conta de limitações humanas, mas também por causa da natureza multifacetada da matemática.

      É importante observar que, ao contrário de crenças populares, matemática não se aprende de forma hierárquica, partindo de noções mais elementares, até chegarmos a teorias mais avançadas. Cito um exemplo muito simples. A maneira usual de estudar cálculo no Brasil e em outros países é partindo do pressuposto de que os alunos sabem o que são números reais. No entanto, não sabem! Comumente, nem mesmo os professores sabem. Podemos definir números reais como classes de equivalência de sequências de Cauchy de números racionais. E podemos definir números racionais como classes de equivalência de pares ordenados de números inteiros. E podemos definir números inteiros como classes de equivalência de pares ordenados de números naturais. E podemos definir números naturais a partir dos axiomas de Zermelo-Fraenkel. E podemos definir os axiomas de Zermelo-Fraenkel a partir de uma teoria de primeira ordem. Mas quem tem coragem de fazer isso tudo antes de iniciar o estudo de cálculo? Até onde sei, ninguém.

      Estudar matemática não é como subir uma escada de conhecimentos. Estudar matemática é como navegar em um mar de conhecimentos. Às vezes você segue uma direção, às vezes segue outra.

      Em suma, devemos aceitar o fato de que educação é uma aventura. E é a experiência que torna os aventureiros melhor preparados.

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  7. Prof. qual livro de calculo o Sr. acha menos limitado? ou seja o mais completo

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    1. Tynhow

      Um livro de cálculo que gosto muito é o de Richard Courant.

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    2. Prof. desculpe-me encomodar o sr. novamente mas eu gostaria de saber se o livro do apostol em portugues é bom?

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    3. Tynhow

      Há muitos anos examinei o livro de Apostol. Pelo que recordo ele é tão tolerável quanto a maioria dos outros. Para um primeiro contato com cálculo diferencial e integral, parece-me razoável. No caso de dúvidas específicas sobre a matéria, pode perguntar por aqui mesmo.

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    4. Prof. o livro do courant tem muita diferença para um livro de análise?

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    5. Tynhow

      A obra de Courant é sobre cálculo e não análise. Mas há uma abordagem que se identifica muito com aquela oferecida em livros sobre análise.

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    6. Prof. estou lendo o livro do Courant mas não consegui compreender qual seria a diferença pratica entre continuidade e continuidade uniforme, ficaria grato se o sr. pudesse me elucidar.

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  8. Daniel Monteiro Tabosa

    professor, obrigado por nos agraciar com críticas tão profundas e benéficas à nossa formação, adorei seu artigo da american scientific brasil.

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  9. Professor, quero agradecer-lhe pelo artigo maravilhoso na scientific american brasil. Professor, gostaria de saber se , para ser um bom físico ( ou professor de Física, na verdade sou licenciado em física mas adoro física teórica e matemática e quero , se possível fazer mestrado nessa área)é necessário me aprofundar bem na matemática , principalmente em análise?

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    1. Daniel

      Pergunta difícil de responder. Na verdade este é um excelente tema para postagem, a qual devo escrever em breve. Por enquanto apresento uma versão resumida de minha resposta.

      É necessário se aprofundar em matemática para ser um bom físico? Depende de seu interesse profissional em física. É muito improvável que alguém conheça bem mecânica quântica sem uma visão profunda sobre análise funcional. Por mais estranho que possa parecer à primeira vista, é igualmente difícil alguém conhecer bem mecânica clássica sem uma visão detalhada sobre espaços fibrados.

      No entanto, quanto mais um físico se escraviza à matemática, maior o risco de se distanciar da intuição física. E, sem intuição física, não vejo como alguém possa estudar física seriamente.

      Em suma, o equilíbrio entre matemática e intuição física é muito delicado. Frequentemente físicos devem abrir mão de rigor matemático, para que possam desenvolver suas teorias.

      A melhor maneira para você encontrar uma resposta satisfatória à sua questão é discutir sobre este tema com físicos de excelente reputação internacional e formar sua própria visão a respeito do tema. E tal discussão deve ocorrer ao longo de toda a sua carreira e em meio a muito trabalho. O que torna alguém um físico não são meros estudos, mas a prática de fazer física.

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    2. Obrigado pela resposta professor. Dou aulas de Física e Matemática no ensino médio e algo que sinto muita falta é o debate e a conversa entre meus colegas professores sobre temas importantes de Física, matemática e ciência de um modo geral. Não se fala sobre teoria da evolução, não se fala sobre teoria das cordas, não se fala sobre mecânica quântica - se quer os professores sabem o que é a mecânica quântica - sinto vontade de estar num ambiente mais desafiador, por isso concordei tanto com seu artigo em scientific american brasil, os horários de planejamento são usados para professores preencherem diários com anotações que não mudarão em nada a realidade do ensino de ciências. Gostaria de fazer uma última pergunta professor, o que o senhor acha sobre o mestrado profissional em ensino de física que foi recentemente aprovado pelo capes?

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    3. Daniel

      Ainda não examinei de perto essa nova modalidade de mestrado. Mas pretendo fazer isso em algum momento futuro.

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  10. Professor, sou aluno de matemática e alguém me perguntou aonde usa o cálculo (no caso, este cálculo de derivadas e integrais de funções contínuas e reais de variáveis reais que aprendemos nos primeiros semestres de graduação) na engenharia civil e mecânica.
    Eu não soube responder... infelizmente... eu vejo uns exemplos em livros. Mas acho muito pobres.
    Você poderia me ajudar a dar uma resposta? Indicando um livro ou um site que tenha explicações e/ou aplicações diretas do uso de derivadas na engenharia.
    OBS: Eu vi algumas no uso do Cálculo 2. Mas nada vi especificamente do Cálculo 1.

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    1. Samuel

      Infelizmente existe uma considerável falta de sintonia entre matemáticos e engenheiros, tanto no Brasil quanto em outros países. E justamente onde existe crise, há também oportunidades. No artigo abaixo há uma descrição detalhada sobre uma colaboração entre os departamentos de engenharia e de matemática na Penn State University, EUA. Há vários exemplos de aplicações de cálculo em diferentes áreas da engenharia, incluindo civil e mecânica.

      http://www.ijee.ie/articles/Vol18-1/Ijee1262.pdf

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  11. Concordo totalmente com o senhor. Eu estudo na UTFPR de Curitiba e em cálculo I não tive a noção de infinitésimos. Tive que pegar nas férias o Piskounov e ir por conta. :(
    Só para teres uma ideia, até o final do cálculo II ninguém da minha sala sabia que várias das fórmulas de derivação vinham da regra da cadeia.

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  12. Respostas
    1. Sebastião

      O teorema em questão se refere ao conceito de limite central. Portanto, a tradução usual é adequada.

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    2. http://adsabs.harvard.edu/abs/2011arXiv1101.5220H

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  13. Então segundo o que todos voces concordm ocalculo inyegral e diferencial, não servem para nada? isso é um absurdo concordarem com quem publicou essa barbaridade

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    1. Hamilton

      Poderia explicar como você conseguiu fazer essa inferência?

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  14. O mais interessante de todo caminho percorrido pelo cálculo, foi ter sobrevivido as críticas de um número grande de matemáticos, que, por algum motivo utópico, não aceitavam, e ainda não aceitam, sua principal utilidade. E ainda, assim, querem inventar teorias, que muitos não sabem para que, e nem porquê, para dizer que não há fundamentos lógicos em utilizar infinitésimos, ou número infinitamente grandes.
    Basta que leiam sobre a história do cálculo que todos verão como seria mais entendível os conceitos que, hoje, são colocados de forma a massagear o ego de quem se diz o entendedor da matemática.

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  15. Olá gostaria de deixar o meu canal com aulas de cálculo analítico e matemática grátis para
    quem quiser assistir !

    https://www.youtube.com/user/professordecalculo

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  16. Professor, a obra Elementos de Cálculo Diferencial e Integral de W. A Granvile é recomendável para um estudo inicial? Tenho uma edição antiga.

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    1. Nossa, arthur! Não vejo este livro há décadas. É uma ótima referência se seu interesse é mais voltado a aspectos intuitivos e aplicações. Se desejar uma visão mais formal, o livro de Guidorizzi é um bom complemento. Se desejar uma visão mais voltada a fundamentos, o melhor a fazer é consultar um bom livro de análise matemática, como o de Elon Lages Lima. Ou seja, depende de seu propósito e de seu perfil pessoal de aprendizado de matemática.

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  17. Obrigado pela resposta completa professor! Como minha graduação está situada dentro das ciências sociais, meu interesse surgiu por conta da aplicação na modelagem econômica e até estatística (embora não me seja estritamente necessário para o curso). Me interesso muito por filosofia das ciências sociais e disso surgiu um interesse em formalizações e rigorosidade matemática. A propósito, comecei meu estudo de lógica pela obra Introdução à Lógica de Cezar Mortari, acompanhado pelo dicionário de Leonidas Hegenberg. Terias alguma recomendação para este último tema?

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    1. arthur

      O melhor livro que conheço para iniciar estudos em lógica é Introduction to Mathematical Logic, de E. Mendelson. É uma obra fenomenal que consegue conciliar didatismo com boa dose de rigor. O autor parte do pressuposto de que o leitor não tem familiaridade alguma com o tema. E chega a tópicos avançados, com muitos exemplos e exercícios. Recomendo em especial a última edição deste livro.

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