sexta-feira, 21 de setembro de 2012

Livro-Texto: o Exemplo da Álgebra Linear



Não existe autor ou professor inquestionavelmente confiável como profissional do ensino.

Um dos principais problemas na formação de professores e pesquisadores é a adoção do (quase bíblico) livro-texto nos estudos universitários. Se compararmos cuidadosamente diferentes livros usados como referência única em disciplinas comuns aos cursos de graduação em matemática, sempre perceberemos variações conceituais, muitas delas significativas. Elas são devidas a diferenças de abordagens, ignorância de autores, erros ocasionais, abusos de linguagem, falta de uma devida contextualização, erros de tradução, erros de digitação, falhas de revisão, entre outras possíveis e frequentes causas. Analisemos, como exemplo, o caso da álgebra linear.

Álgebra linear é uma disciplina estratégica e, por isso, sempre lecionada em cursos superiores de matemática. É o estudo de espaços vetoriais e de transformações lineares entre tais espaços. Trata-se de importante área tanto do ponto de vista de aplicações quanto da visão matemática que encerra em si. 

Em aplicações, espaços vetoriais viabilizam, por exemplo, a descrição matemática de campos em física. Um campo, grosso modo, é uma atribuição de uma grandeza física a cada ponto do espaço e do tempo. Como existem infinitos pontos no espaço e infinitos instantes em um intervalo de tempo (nas formulações usuais, pelo menos), o conceito de espaço vetorial torna-se útil pelo fato de permitir a descrição desses infinitos pontos a partir de uma quantia menor (muitas vezes finita) de informações. Isso deriva do conceito de base de um espaço vetorial. Um campo vetorial que descreve um campo elétrico no espaço tridimensional – apenas para citar um caso muito especial – pode ser caracterizado por apenas três vetores e três funções escalares correspondentes, uma vez que usualmente considera-se que o espaço físico nesta situação tem três dimensões. 

Já do ponto de vista matemático, a álgebra linear fornece ferramentas para o estudo de outras áreas da matemática, como equações diferenciais. Viabiliza, desse modo, a visão de equações diferenciais (citando apenas um exemplo) sob uma nova perspectiva, em comparação com o cálculo diferencial e integral. Teoremas de álgebra linear podem ser usados nessa área do conhecimento cujas metas são muito diferenciadas.

Do ponto de vista didático, há pelo menos duas abordagens muito comuns para lecionar álgebra linear. Na primeira se inicia com o estudo de matrizes, geometria analítica, sistemas de equações lineares e funções polinomiais. O objetivo é motivar o estudo posterior dos espaços vetoriais a partir de exemplos menos abstratos do que o tratamento axiomático usual que fundamenta a álgebra linear. A outra abordagem começa diretamente com uma teoria axiomática de espaços vetoriais – assunto extremamente abstrato – e o professor posteriormente introduz espaços de matrizes, de n-uplas ordenadas e de funções como modelos (exemplos) de espaços vetoriais. 

Cada uma dessas abordagens apresenta pontos fortes e fracos. A primeira parece mais adequada para alunos ignorantes sobre teorias de conjuntos. A segunda é mais recomendável para alunos verdadeiramente dedicados. Isso porque a segunda abordagem permite qualificar imediatamente quais são os objetivos da álgebra linear.

Independentemente desse tipo de diferença no tratamento didático, ainda é possível perceber distinções profundas entre livros populares sobre o tema, mesmo do ponto de vista conceitual. Cito dois livros, para ilustrar o que quero dizer. 

Na obra de T. Lawson (Álgebra Linear, Edgar Blücher, 1997), um espaço vetorial é definido como um conjunto V de vetores que tem duas operações binárias (adição de vetores e multiplicação de escalar por vetor) e que satisfazem a certas propriedades colocadas logo a seguir. Já no livro de E. L. Lima (Álgebra Linear, IMPA, 2004), espaço vetorial é definido como um conjunto no qual estão definidas duas operações (novamente a adição de vetores e a multiplicação entre um número real e um vetor) satisfazendo a certas condições chamadas de axiomas de espaço vetorial, também dadas em seguida. 

O linguajar em ambas as obras é confuso já no início, a partir do momento em que um autor fala em um conjunto que tem duas operações e outro discute sobre um conjunto no qual estão definidas duas operações. Ainda que ignoremos essa falta específica de qualificação do vocabulário empregado, em um livro os espaços vetoriais são definidos a partir de propriedades de duas operações, enquanto no outro eles são definidos a partir de axiomas

Para um aluno crítico que conheça qualquer um dos dois livros, isso pode provocar grande confusão, sem que necessariamente ele perceba. E confusões não percebidas conscientemente tendem a se transformar em preconceitos perenes. 

Tais definições podem sugerir que axiomas e propriedades são conceitos do senso comum e que não demandam demais explicações. Do ponto de vista lógico, pode existir uma profunda diferença entre os conceitos de propriedade e axioma. Nenhum dos autores citados deixa claro o que entende por axioma ou propriedade. Estes não são termos triviais, cujos significados possam ser ignorados. Tratar levianamente os conceitos de axioma e de propriedade, mas enfatizar o de espaço vetorial, pode induzir uma visão preconceituosa de que certos termos da matemática são ignoráveis (por serem triviais) e outros não. Essa atitude pode provocar (e na prática provoca!) a sensação de que a matemática é uma arbitrariedade, um fruto da vontade de autores e professores. O segredo para se obter uma boa nota – pode pensar o estudante – é decifrar o que é importante para o professor e o que não é. Trata-se do famoso "tenho que responder como o professor quer". Como matemática exige o exercício de senso crítico, esse tipo de descuido sobre o significado de termos comumente usados em matemática pode distanciar o estudante do que é, de fato, essa ciência. Nenhum livro-texto consegue esgotar assunto algum em matemática, dada a extrema riqueza desta ciência em termos de pontos de vista. 

E se o aluno tiver contato com os dois livros citados, a confusão pode ser pior. Isso porque pode se desenvolver a sensação de que axiomas e propriedades são sinônimos, o que dificilmente pode ser considerado como verdade sem uma devida qualificação.

Minha tese sobre esta questão é a de que a política do uso de um livro-texto em sala de aula pode gerar uma tendência no aprendizado a uma postura preconceituosa. É fundamental que o aluno encontre diversidade de abordagens na literatura, já que ele raramente pode contar com diversidade de professores em uma mesma disciplina. Se o professor de ensino superior limita sua aula àquilo que está escrito no livro, nas notas de aula ou na apostila, jamais deixará claro o que significam termos usualmente não explicados, como as noções de axioma, demonstração, tese, teorema, corolário, lema, proposição, definição etc. Isso pode deixar várias impressões equivocadas nas mentes dos alunos. Podem achar, por exemplo, que não há necessidade de esclarecer o que significa uma propriedade ou um axioma, pois estes são termos comuns em linguagem coloquial, com significados intuitivos do senso comum, facilmente encontrados em dicionários de língua portuguesa. Porém, matemática não se faz com dicionários; não importando se são dicionários de língua portuguesa ou mesmo de matemática.

O senso comum, com freqüência, estabelece que um axioma é uma sentença ou afirmação naturalmente verdadeira e que não precisa ou não pode ser demonstrada. Mas, matematicamente falando, axiomas podem eventualmente ser falsos (em sentido muito preciso) e certamente podem ser demonstrados. Detalhes podem ser vistos, por exemplo, nas postagens Algumas Curiosidades Lógicas e  Espaço, a Fronteira Final?. Se o leitor acha que há alguma contradição ao se afirmar que um axioma pode ser falso e ainda assim demonstrável, é porque este mesmo leitor confunde o aspecto lógico-sintático de uma demonstração com a noção semântica de verdade/falsidade. Lógica é um assunto altamente não-trivial que demanda considerável responsabilidade e muita reflexão. Como a lógica está sempre subjacente (explícita ou implicitamente) a qualquer disciplina matemática, seu estudo sistemático torna-se evidentemente uma necessidade básica pelo menos para o docente e, principalmente, para o autor de livros didáticos.

Definir o conceito de espaço vetorial a partir de propriedades é uma estratégia muito perigosa, pois pode facilmente distanciar o estudante de uma visão mais fundamental sobre espaços vetoriais, limitando-o a uma perspectiva estreita sobre o tema. Se um estudante com forte senso crítico questionar um professor sobre o conceito de propriedade, estará este profissional preparado para responder tal questão? 

Quando um professor adota um livro-texto, parece estar querendo deixar a responsabilidade sobre a parte técnica por conta do autor do livro, para que possa administrar mais livremente questões de ordem didática. Mas o fato é que matemática não se faz sob um único ponto de vista. Enquanto atividade social, a matemática é uma pluralidade de ideias e abordagens, as quais nem sempre podem ser transmitidas aos alunos por uma só pessoa, seja autor ou professor. 

No entanto, o professor ou o autor não podem se perder em detalhes que escapem aos objetivos do tema principal. Se o assunto é álgebra linear, o detalhamento sobre questões de lógica pode desviar severamente do objetivo principal: o estudo de espaços vetoriais. Portanto, encontramo-nos diante de um dilema.

Existem pelo menos três possíveis soluções para as limitações da adoção de livro-texto. Todas, em minha opinião, devem ser adotadas simultaneamente:

1) Todos os conteúdos dados em aula devem ser qualificados da melhor maneira possível, sem fugir aos propósitos da disciplina. Se álgebra linear for lecionada do ponto de vista de sua fundamentação axiomática, o autor do livro e o docente devem deixar claro que o conceito de axioma é não-trivial, mas deve ser estudado em outra ocasião. Para os propósitos imediatos da disciplina, conceitos como axioma, postulado, teorema, demonstração e definição podem ser tratados de maneira puramente intuitiva, a partir da prática matemática. Mas isso tem que ser esclarecido. Ou seja, o estudo usual sobre álgebra linear em livros-texto ou disciplinas usualmente levadas a cabo nas universidades, trata-se apenas de uma primeira aproximação ao assunto, não o esgotando. Referir-se a axiomas como meras propriedades é um perigoso distanciamento da prática matemática de qualidade, pois fomenta a ignorância.

2) Citações a textos complementares devem ser feitas tanto por autores quanto docentes. Essas citações devem ser acompanhadas de breves explicações sobre seus conteúdos. No caso da álgebra linear, devem ser citadas referências sobre lógica (para fundamentar o assunto), física e engenharias (para apontar possíveis aplicações) e história (para ilustrar o desenvolvimento da disciplina), entre outras.

3) Deve existir uma estreita comunicação entre professores de diferentes disciplinas, para que eles mostrem aos seus alunos que os ramos da matemática não estão isolados, mas fazem parte de uma rede multifacetada de conceitos e relações entre conceitos. 

Outro problema preocupante com ambas as definições de espaço vetorial nos livros de álgebra linear mencionados acima é o conceito de conjunto. Quando o aluno se depara com uma definição única de espaço vetorial, pode ficar com a equivocada impressão de que não há ambiguidade em tal conceituação. No entanto, é bem sabido que existem inúmeras teorias de conjuntos na literatura, sejam formais ou intuitivas.

Muitas das teorias de conjuntos que assolam a literatura matemática são incompatíveis entre si, tendo pouquíssimas características em comum. Ou seja, se mudarmos a teoria de conjuntos, mudamos o conceito de espaço vetorial. Para cada teoria de conjuntos pode existir (pelo menos) uma nova definição de espaço vetorial. O fato de os alunos (ou mestres) não conhecerem diferentes teorias de conjuntos não significa, de forma alguma, que elas não possam existir. Se o objetivo de uma universidade ou faculdade é minimizar a ignorância em áreas de especialização, temos aqui um problema sério que somente pode ser resolvido se professores e autores começarem a encarar mais seriamente o fato de que a matemática é um rico fenômeno social que envolve contribuições de muitos especialistas.

Um exemplo bem conhecido da relação entre álgebra linear e lógica é a questão sobre a existência de bases em espaços vetoriais. Se a fundamentação axiomática para espaço vetorial for feita na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o Axioma da Escolha, todo espaço vetorial admite base. Sem o Axioma da Escolha ou uma fórmula equivalente, não há como provar este resultado.

A adoção incondicional de livro-texto pode também dificultar qualquer comunicação entre diferentes disciplinas. Um livro-texto pode ser facilmente percebido como uma ilha no universo da matemática. Se o professor de cálculo diferencial e integral adota apenas um livro como referência, e o professor de álgebra linear adota outro texto único, o estudante pode fixar a ideia, já enraizada desde os medíocres ensinos fundamental e médio, de que a matemática é formada por múltiplas células sem quaisquer conexões entre elas. Essa visão fragmentada também distancia o estudante da matemática em si. Certos problemas bem conhecidos deixam claro que não é possível estabelecer uma fronteira precisa que diferencie cálculo diferencial e integral de álgebra linear. É notório, por exemplo, que um operador de derivação sobre um espaço de funções polinomiais de grau menor ou igual a n (n é um número natural) pode ser representado por uma matriz quadrada de ordem n+1. E representação matricial de operadores lineares é tópico de álgebra linear, apesar de operadores de derivação serem objetos de estudos do cálculo diferencial e integral.

É claro que questionamentos infindáveis sobre fundamentos e interdisciplinaridade podem atrapalhar consideravelmente o estudo de uma disciplina como álgebra linear. Afinal, os alunos precisam conhecer em um semestre ou dois, assuntos como base, dimensão, transformações lineares, operadores lineares, autovalores e autovetores de operadores, sub-espaços vetoriais, bem como resultados de vital importância estratégica, como o teorema espectral. Não há muito espaço, em uma disciplina comum de álgebra linear, para discussões sobre fundamentos, formalismo, rigor, intuição e outras questões que escapem da ementa planejada. Aqueles que se matriculam em um curso superior de matemática precisam aprender tópicos muito específicos e de maneira objetiva e rápida. Isso é vital para o futuro profissional deles, principalmente levando em conta que o tempo de realização de um curso superior não pode ser exageradamente extenso, por motivos institucionais, sociais e individuais. O que fazer, então? 

Já discutimos acima algumas posturas que, concatenadas, podem promover uma solução parcial a este problema. Mas sugiro a seguir outra proposta que pode ser interessante, dependendo do perfil da instituição de ensino.

Uma possível solução ao dilema acima é a introdução de uma série de disciplinas de carga horária reduzida, nos cursos superiores de matemática, nas quais se promovam debates críticos sobre os livros até então usados na graduação. Disciplinas dessa natureza não seriam ministradas por apenas um professor. Elas seriam coordenadas por um docente, o qual convidaria pesquisadores e professores experientes que tenham disposição para debater com os alunos matriculados sobre questões de caráter fundamental. Tais disciplinas deveriam ser ofertadas, uma por vez, em cada semestre ou ano letivo, de modo a sempre estimularem o senso crítico dos alunos que assistem aulas expositivas tradicionais. Se forem semestrais, em um curso de quatro anos de duração, poderiam se chamar Fundamentos I, Fundamentos II, ..., Fundamentos VIII. Para que isso não cause profundo impacto sobre a carga de trabalho  acadêmico dos discentes, as avaliações poderiam ser amenas (com trabalhos feitos em casa, por exemplo) e a carga horária de cada disciplina poderia se limitar a duas horas semanais. Seriam duas horas semanais nas quais os alunos teriam tempo para refletir sobre a matemática altamente técnica e limitada que foi estudada nas disciplinas usuais. Tais disciplinas seriam de interesse aos discentes que se sentissem atraídos por uma visão mais profunda sobre sua formação e que buscassem uma compreensão mais ampla da matemática.

Esta postagem é uma versão preliminar de uma discussão mais aprofundada que pretendo veicular aqui em futuro não muito distante. A ênfase neste texto foi sobre aspectos didáticos do ensino de álgebra linear. Futuramente pretendo discutir sobre os aspectos técnicos desta disciplina, mostrando uma forma rigorosa e bem qualificada para definir o que, afinal de contas, é um espaço vetorial.

67 comentários:

  1. Mmmm... Não creio que a abordagem "aplicação primeiro" seja prejudicial ou mais adequada à alunos sem fundamentação de teoria dos conjuntos.

    Fiz duas faculdades na área de exatas. Em uma, álgebra linear foi, no meu segundo período, o primeiro contato com formalismo matemático "real" - não apenas receitas de bolo para cálculo de limites específicos, derivadas e pontos focais de elipses.

    Meu professor apresentou os axiomas do espaço vetorial, e que ao ser questionado sobre o que significava exatamente cada axioma, enveredava numa discussão quase metafísica. Metade da turma desistiu das aulas depois de muito pouco tempo.

    Um professor substituto introduziu o conceito de matrizes, relembrou operações vetoriais, e apresentou a "definição" de espaço vetorial como um modelo matemático das características comuns desses diversos conceitos de vetor. O aprendizado foi muito simplificado e as questões de se os axiomas tem origem em conceitos mais fundamentais, se são um conjunto independente de afirmações, entre outras, foram sanadas bem mais eficazmente.

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    1. Igallindo

      A maioria dos alunos que eu tive pensa como você.

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  2. Prof,

    Estou interessado em um estudo independente em Algebra Linear. O Sr. poderia me indicar dois livros que, na sua opinião, fossem um bom ponto de partida para uma tal empreitada ?

    Saudações,

    Lucas Rehbein

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    1. Oi, Lucas

      O melhor livro que conheço para iniciar estudos sobre álgebra linear é o Espaços Vetoriais de Dimensão Finita, de Paul Halmos. Lembro que foi publicado pela Campus, muitos anos atrás. Mas a obra de Halmos não é adequada para avançar em aplicações. Para isso recomendo o livro Álgebra Linear, de Elon Lages Lima (citado na postagem). Feito isso, fortemente recomendo que procure por leituras realmente avançadas sobre análise funcional.

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  3. Boa noite, espero encontar a resposta que procuro aqui.
    Encontrei em um livro, muito elogiado, o seguinte "...num dado sistemas
    de coordenadas, um vetor está associado a um par ordenado, entretanto
    a recíproca não é verdadeira".
    O autor estáva introduzindo vetores no plano.
    Confesso que fiquei na dúvida na parte da recíproca, está correto?
    Obrigado.

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    1. Anônimo

      Sem conhecer detalhadamente o contexto corro o risco de avaliar de forma precipitada o que o autor escreve. Mesmo assim, me parece uma afirmação correta. Isso porque pares ordenados de números reais podem ser usados em modelos para espaços vetoriais. Basta empregar a adição usual entre pares ordenados de números reais (como interpretação para a adição de vetores) e a operação usual de multiplicação entre número real e par ordenado de números reais (como interpretação para a multiplicação entre escalar e vetor). Facilmente se verifica que essa estrutura satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial. No entanto, o fato de termos um conjunto de pares ordenados de números reais não implica que temos um espaço vetorial em mãos. Isso porque o que define um espaço vetorial são aquelas duas operações bem conhecidas (adição de vetores e multiplicação de escalar por vetor). Sem definir essas operações não há espaço vetorial algum.

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  4. Caro Adonai,
    tendo a considerar as duas apresentações da álgebra linear de fato complementares do ponto de vista pedagógico. Embora, apresentação axiomática seja "hard" para o aluno que acabou de sair do ensino médio, sempre a considerei muito interessante. Acho que o problema está lá, no ensino médio. Os alunos não chegam suficientemente maduros para enfrentar as agruras de um ensino superior que lhes exige espírito crítico.
    Cordialmente,
    Gilson

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    1. Pois é, Gilson

      Nos Estados Unidos, país que tem um péssimo sistema de ensino básico, a garotada do ensino médio estuda noções de teoria de grupos. E aqui?

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    2. Pelos contatos que tenho com colegas do E.M., a coisa se reduz a solução de algoritmos, que uma máquina poderia resolver. Costumo dizer, para irritação de meus colegas da matemática, que no E.M. não se estuda matemática! É muita petulância de um filósofo! Aliás, digo para meus alunos que no E.M., aqui em terras tupiniquins, não serve para absolutamente nada!

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  5. Adam Azevedo encontrou problemas para postar um comentário. A pedido dele reproduzo aqui e-mail enviado por ele.

    ___________________

    Olá prof. Adonai.


    Notei nos livros de Álgebra Linear e de Análise que um mesmo teorema possui demonstrações diferentes. Isto acontece porque uma demonstração depende dos pressupostos assumidos pelos autores dos livros.

    Mas, no caso de um exame de matemática, se dois candidatos estudaram em
    livros onde os pressupostos são diferentes, eles irão elaborar demonstrações diferentes, assumindo que ambas estejam corretas. É possível que uma das demonstrações seja considerada errada pelo professor que corrigir a questão caso os pressupostos não coincida com os dele, uma vez que esse professor não conheça os pressupostos utilizados pelo candidato?

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    1. Adam

      O que deve ser avaliado, neste caso, é o enunciado da questão. Se a questão for mal escrita, cabe recurso e até processo na Justiça. Coloco-me a disposição para avaliar casos específicos.

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  6. Sou Anônimo de 21/09. O livro a qual me referi é de física, e vetor estava sendo visto como seguimento de reta orientado.A justificativa de que não valia a recíproca é que os vetores só ficam definido quando são dados os vetores unitários (i,j) que definem as direções dos eixos coordenados.Mas em um livro de geometria analítica dizia que a cada ponto no plano determina um par ordenado e a cada par ordenado determina um ponto no plano, e um ponto no plano determina um vetor no plano, aí que fiquei confuso.Mas sua resposta foi clara, muito obrigado.

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  7. Adonai


    sempre tive dificuldades para um ótimo aprendizado de Matemática no sentido de ampliar minha visão para realmente entender conceitos mais profundos.

    Apesar de, tecnicamente falando, isto não afetar diretamente meu desempenho nas disciplinas e graus curriculares da minha já concluída graduação (e mestrado, posteriormente), sempre fui muito frustrado por não conseguir realizar as transposições que me permitissem entender verdadeiramente o que eu estava fazendo quando eu executava alguma operação envolvendo Álgebra Linear e afins.

    Por exemplo: sei executar cálculos com matrizes e determinantes (regra de Sarrus, matrizes identidade, regra de Crammer, escalonamento, etc, etc) mas não faço a menor ideia de como partir de conhecimentos anteriores (as 4 operações básicas, equações, inequações, sistemas de equações) para desembocar nas matrizes, determinantes, etc e nem sequer o que levou os matemáticos a desenvolverem tais métodos e como isto ocorreu.

    Pior: não consigo fazer a transposição lógica de cálculos estudados em níveis mais iniciais (como no ensino fundamental, por exemplo) para a lógica de cálculos mais elaborados (como estes que vimos no médio e superior), muito embora eu consiga efetuar os cálculos de Álgebra Linear com bastante desenvoltura (pelo menos na época em que estudei este assunto).

    Acaba sendo aquilo de "sei fazer isto mecanicamente, mas não faço a menor ideia do que estou fazendo".

    Como amo Matemática e sou um grande entusiasta desta maravilhosa Ciência, isto geralmente me frustra muito.

    Tenho ciência de que, se eu superasse tais dificuldades, eu conseguiria entender ainda melhor os próprios modelos teóricos moleculares estudados em Química Quântica, toda a parte conceitual da dedução das Equações de Schroedinger, os métodos ab-initio, o método de Monte Carlo e a tão importante Teoria dos Orbitais Moleculares (TOM) em maiores detalhes, imprescindíveis para um conhecimento detalhado sobre Ligações Químicas!!!!!!!

    Como eu poderia fazer para realizar essa transposição e, aos poucos, partir do intuitivo para algo bem mais abstrato??????

    Pergunto isso pois, em minha frágil (e provavelmente errônea) concepção, por exemplo, os conceitos de Produto Escalar e Produto Vetorial estariam de algum modo relacionados com a ideia de "produto" como uma das 4 operações básicas, ou seja, "multiplicação".

    Como a simbologia usada é praticamente a mesma, o termo "produto" aparece em ambas as situações, o professor na minha época não se preocupou em especificar o que ele queria dizer com "Produto Escalar" e "Produto Vetorial" e os próprios livros adotados (do Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle) conceituavam estes temas como se fossem um capítulo completamente aquém do resto da Matemática, tive que criar minha próprias crenças para poder ao menos me conformar e minimizar a angústia de não ter a quem recorrer. Daí permaneceu até hoje essa ideia de que estes conceitos de Álgebra Linear são quase que um detalhamento do cálculo de multiplicação.

    Sei que para muitos esta minha concepção seja ridícula (e talvez seja mesmo), mas isto se deu em função de todo um momento em que estudei esta importante disciplina, que pode ser diretamente aplicada em Química Teórica e até mesmo em outros ramos da Físico-Química que envolvam transporte de fluídos e reações químicas em estado de não-equilíbrio químico.

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  8. Professor Adonai

    Conheci teu blog por meio do texto "Depoimento de um Superdotado".
    Gostei muito dos comentários acerca de vários aspectos da Ciência, Matemáitca e Ensino.
    Queria aproveitar o gancho para saber qual a sua opinião a respeito do livro de Algebra Linear do Hoffman, que é outra bíblia utlizada com unanimidade pelas universidades do Brasil, embora o considere mal traduzido e muito pouco didático.

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    1. Hugo

      Para ser honesto, não lembro como é o livro do Hoffman. Em geral não gosto da literatura em língua portuguesa sobre álgebra linear, com exceção da obra de Halmos (traduzido). Se você fizer muita questão sobre minha opinião, posso examinar novamente o livro de Hoffman e escrever algo a respeito por aqui ou por e-mail.

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    2. Gostaria de saber de sua opinião sim professor, por gentileza.
      Praticamente todos os cursos de Algebra Linear de graduação e pós-graduação utilizam este livro. A ultima edição dele em português é de 1979, pela editora LTC. Os autores, Kenneth Hoffman e Ray Kunze, são (ou eram) professores do MIT.
      Caso queira, meu email é hugomath@bol.com.br

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    3. Hugo

      OK. Na próxima semana as aulas da UFPR recomeçam. Irei à biblioteca e consultarei o livro. Até lá responderei ao seu pedido. Se quiser, posso apagar o comentário acima, para evitar a divulgação pública de seu e-mail.

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    4. Prof. eu também gostaria de saber isso, pois sempre vejo o livro de hoffman como o imutavel da algebra linear, e tb gostaria de saber se o Sr. acha que os livros do hoffman e do elon sobre algebra linear é suficiente pra ter um pleno dominio da materia.

      Obrigado =]

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    5. Tynhow

      Pleno domínio de álgebra linear a partir de um único livro? Não vejo como. Proponho o seguinte. Diga-me a definição de base de um espaço vetorial. A partir de sua resposta poderei ilustrar um ponto importante.

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    6. acredito que seja o conjunto de vetores linearmente independe que geram o espaço vetorial

      o sr. acha que os livros do hoffman, elon e do halmos é suficiente para se ter um pleno dominio ? e o Hoffman é realmente tao bom quanto falam ?

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    7. Tynhow

      Use esses livros para concluir sua resposta. O que é um conjunto de vetores linearmente independentes? Pode crer que tenho um propósito com essas questões.

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    8. é o conjunto de vetores em que nenhum dos elementos sao uma combinação linear dos outros eu acredito. Desses livros eu possuo apenas o hoffman em pdf, porém como eu ainda sou aluno do 3° ano EM, apenas estou adiantando os assuntos do superior e estava me orientando por video aulas mas como sempre é bom ter o auxilio dos livros estou buscando sugestoes e tentando aprofundar o maximo possivel de cada assunto e lendo o seu blog vi que o Sr. realmente entende do assunto =p

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    9. Tynhow

      Antes de mais nada, preciso dar os parabéns a você. São raríssimos aqueles que estudam textos de graduação quando ainda cursam o ensino médio. Excelente a sua iniciativa!

      Pois bem. Agora chegamos ao ponto que eu queria. Combinação linear se define a partir de uma operação binária conhecida como adição de vetores. Com o axioma da associatividade é possível estabelecer a adição de três ou mais vetores, mas sempre uma quantia finita de vetores. Portanto, a suposta definição de base que você menciona (comum a todos os livros de álgebra linear que existem no Brasil) funciona somente para espaços vetoriais de dimensão finita. E quanto aos espaços vetoriais de dimensão infinita? Ou seja, afinal, qual é a definição de base de um espaço vetorial? Este é um dos motivos porque gosto do livro de Paul Halmos. Já no título ele qualifica: Espaços vetoriais de dimensão finita. A maioria dos livros de álgebra linear anuncia que o tema deste ramo da matemática é o estudo de espaços vetoriais. No entanto, estes são objetos de estudo bem mais complicados do que é sugerido em tais livros.

      Por isso sempre insisto. Não é possível se basear em um único livro para estudar qualquer ramo da matemática. Se você quiser saber mais sobre espaços vetoriais, precisa estudar livros sobre análise funcional. É uma extensão natural e muito elegante.

      Quando você estudar álgebra linear em alguma disciplina de graduação, faça as seguintes perguntas ao seu professor:

      1) Qual é a dimensão da reta dos reais?

      2) Como provar que todo espaço vetorial tem base?

      Depois me diga as respostas de seu professor. Será divertido discutir sobre isso.

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    10. Hehehe, Lhe encomodando mais uma vez mas é algo que me deixa 'encucado' o sr. acha melhor estudar AL e Calculo juntos ou um depois o outro?

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    11. Tynhow

      Isso depende de seu perfil pessoal. Há uma estreita relação entre cálculo diferencial e integral e álgebra linear. A derivada ordinária, por exemplo, quando aplicada sobre um espaço de funções polinomiais de grau menor ou igual a um dado n, pode ser representada como uma matriz. Isso ocorre porque a derivada é um operador linear (conceito de álgebra linear). E todo operador linear sobre um espaço vetorial de dimensão finita pode ser representado por uma matriz. Também existem aplicações de técnicas de álgebra linear no estudo de equações diferenciais.

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    12. Tynhow

      Para fins de primeiro contato com os temas em questão, é muito difícil determinar o que deve ser estudado antes: álgebra linear ou cálculo diferencial e integral. Por isso chamei atenção para a questão do perfil pessoal! Cálculo é uma disciplina com uma forte contra-parte intuitiva. Álgebra linear, devido à abordagem axiomática, é mais abstrata. Alguns teóricos da educação já perceberam que existem diferentes perfis pessoais no que se refere ao aprendizado de matemática. Muita gente só compreende matemática se ela tiver um aspecto intuitivo forte. Outros, porém, entendem melhor quando a matemática é apresentada a partir de uma linguagem e lógica dadas explicitamente.

      É claro que, com o passar dos anos, quem genuinamente se dedica à matemática não tem escolha a não ser estudar diferentes ramos e perceber suas conexões. Mas os primeiros passos são sempre os mais difíceis. Tanto é verdade que muitos professores lecionam álgebra linear em graduações evitando a abordagem axiomática. Desta forma o aluno está sujeito a perder aspectos importantes desta disciplina. Ao contrário do que normalmente vejo por aí, vetor não é um ente que tem módulo, direção e sentido. Essa visão é grosseiramente errada, mas comum.

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    13. Prof. como estou em busca de livros de algebra linear/calculo acabei achando um que muitos indicam ser juntamente com o do Richard courant os melhores livros de calculo o do Tom Apostol e como o do apostol tem uma parte de algebra linear eu dei uma olhada na pergunta que o sr tinha me feito anteriormente sobre o que é uma base de um espaço vetorial e achei no apostol uma resposta que acho que se aproxima mais da ideal e gostaria q o sr comentasse, a resposta é a seguinte "Base é um conjunto finito S de elementos num espaço linear V chama-se de base finita de V se S é independente e gera V. O espaço V diz-se de dimensao finita se tem uma base finita ou se V é formado unicamente por O. Caso contrario diz-se de dimensao infinita"

      Desculpe-me por ter ficado tao grande mas é porque eu li cuidadosamente e achei o mais semelhante com a resposta que o sr. me forneceu e gostaria da sua opniao =D

      Muito obrigado =]

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    14. Tynhow

      Essa suposta definição de base não faz sentido. Se a definição de espaço vetorial for fundamentada em Zermelo-Fraenkel sem o axioma da escolha, não há como provar que todo espaço vetorial tem base. Portanto, a alegada definição de base que você apresenta somente poderia ser formulada em Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. Em suma, o tema é muito mais complicado do que normalmente se sugere na literatura sobre álgebra linear. Não se aprende álgebra linear estudando apenas livros sobre álgebra linear.

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    15. hmm, entendo. Prof. gostaria de uma sugestao sua sobre qual assunto estudar primeiro, o calculo diferencial integral ou algebra linear ?
      Andei dando uma olhada e vi que em alguns topicos do calculo (se nao me engano o avançado) usa-se algebra linear, sendo assim seria mais vantajoso estudar calculo, depois algebra linear e apos isso o calculo avançado?

      Obrigado por dispor do seu tempo para tirar minhas duvidas, esta sendo de grande ajuda =]

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    16. Tynhow

      Para um primeiro contato com os temas que você menciona, sua abordagem pode ser interessante. Mas o aprendizado de matemática mais parece com o navegar em mares do que com o galgar de degraus de uma escada. Ou seja, para compreender bem cálculo e álgebra linear, você deve estudar esses assuntos conforme suas necessidades. Além disso, não vejo como seja possível compreender bem cálculo e álgebra linear sem um conhecimento mais profundo de teoria de conjuntos, lógica, método axiomático, álgebra, geometria, entre outras áreas.

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    17. Hmm, entendo, então eu vou continuar estudando calculo, apartir que eu sentir necessidade de alguns assuntos que eu nao conheço eu entro neles =]. Obrigado ;P

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  9. No futuro seria possível você publicar aqui no seu Blog um post contendo uma bibliografia brevemente comentada sobre as áreas abaixo?

    - Teoria dos Números;
    - Cálculo Diferencial e Integral;
    - Análise Real e Complexa;
    - Álgebra Linear;
    - Álgebra Abstrata;
    - Análise Funcional.

    Isso no mesmo estilo da excelente bibliografia comentada sobre os Fundamentos da Matemática no seu livro O que é uma Definição.

    Uma bibliografia assim será de imenso valor para mim e para muitos outros estudantes, interessados, autodidatas, etc.

    Att, Leonardo.

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    1. Leonardo

      Ótima sugestão. Pensarei a respeito.

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    2. Legal Profº Adonai!

      Por favor, pense nisso com carinho, pois uma Bibliografia assim sobre as áreas da Matemática citadas acima na sugestão feita será muitíssimo bem-vinda.

      Att, Leonardo.

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  10. Adonai! boa noite!

    Por motivos de problemas comportamentais relacionados com o aprendizado, não consigo
    tem resultados suficientes com outras matérias, a não ser com a matemática. Por isso resolvi não perder tempo em decorebas e coisas afins. Desde então comecei a estudar matemática superior tendo em vista uma aprofundação na teoria dos conjuntos uso o livro do lipschutz é um livro diferente em relação a outros que eu tive contato com o assunto do mesmo. Queria saber se você acredita que estudar cálculo pelo Richard Courant vale apena ? acho interessante o livro, pois ele introduz a noção de integração antes mesmo da derivada. Também relacionado a algebra linear você conhece o livro: ''Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik'' ? estou me preparando para estudar álgebra linear e vou usar o livro Serge Lang. Você recomenda ?
    Forte abraço!

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    1. loberto

      A obra de Courant é excelente. Mas sempre recomendo diversidade de ideias. Afinal, existem várias formas diferentes de cálculo diferencial e integral, geralmente não equivalentes entre si. Não conheço o livro sobre álgebra linear que você menciona.

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    2. Meu primeiro contato com cálculo de uma variável foi o livro do Apostol (Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra - Tom M. Apostol), e ele também desenvolve o conceito de integral antes da derivada. Além disso, a introdução à álgebra linear é de forma axiomática.

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  11. Prezado Prof Adonai
    ?existe alguma demonstração de que todo espaço vetorial tem uma base que use diretamente o axioma da escolha (e não o equivalente lema de zorn) ??
    Obrigado por qualquer resposta,
    Wilson

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    1. Wilson

      Desconheço. Mas qual é o real motivo da pergunta? Afinal, axioma da escolha e lema de Zorn são equivalentes.

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    2. Bem Prof Adonai
      primeiro parabens pelo blog, sem duvida um espaço aberto de interessantes discussoes.
      Ha pelo menos dois motivos: 1)como fisico teorico sou curioso, 2)motivo principal: quanto mais simples a demonstração de um teorema, melhor!!
      A demonstração via lema de Zorn requer falar de ordem parcial, total etc etc maximal etc... até chegar na equivalencia com o ax da escolha e na prova de que todo esp vetorial "nao trivial" tem uma base. Por outro lado lembrando do ax escolha (que diz que para toda familia não vazia de conjuntos nao vazios podemos escolher um conjunto em cada membro da familia) uma demonstração direta dele seria interessante (sem ter que recorrer aos conceitos de ordem total, parcial etc etc), esse é o motivo principal da minha pergunta.
      Agradeço sua atenção. Qualquer outro comentário é muito bem vindo.
      PS.Eu comprei o livro do Halmos que vc tem sugerido em algumas respostas a outras pessoas. Abraço, Wilson Hugo C Freire (Dep Fisica-Univ Reg Cariri-Juazeiro do Norte - Ceará).

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    3. Wilson

      Pudera os físicos deste país tivessem esse tipo de preocupação. Grato pelo apoio.

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  12. Respostas
    1. Sebastião

      Os problemas apontados aqui são crônicos e não pontuais. A postagem foi escrita para aqueles que desejam pensar a respeito do assunto.

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    2. Sebastião

      A questão é a estratégia que adoto, conforme expliquei em outras postagens. Não tenho mais a disposição para conversar com aqueles que sedimentaram considerável experiência acadêmica em suas vidas. Prefiro colocar à disposição de todo e qualquer interessado o questionamento sobre aquilo que se crê já estabelecido. Ou seja, é nos jovens que deposito minha frágil esperança. Por isso invisto neste blog.

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  13. Adonai, preciso mesmo saber teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel para aprender Álgebra Linear ? Esta disciplina geralmente é a primeira do curso então acredito que não tenha muitos pré requisitos.Quanto ao livro: Álgebra Linear: Teoria e Aplicações de Thelmo Araujo é uma boa obra para uma primeira abordagem ?

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    1. Anônimo

      É possível aprender muita álgebra linear sem conhecer ZF. No entanto, certos resultados avançados de análise funcional (que é uma extensão de álgebra linear) demandam muito conhecimento sobre teoria formal de conjuntos. Não conheço o livro de Araujo. Mas é sempre recomendável conhecer diferentes obras sobre um mesmo tema e trocar ideias pontuais com pessoas mais experientes.

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    2. O thelmo foi meu professor de Discreta na Uece https://sites.google.com/site/thelmodearaujo/
      o cara se garante, sabe muito, acredito que o livro dele não fique por baixo

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  14. Professor, desculpe-me o incômodo (e o atraso de alguns anos no comentário a esta publicação, apenas há alguns minutos que eu a li). Não sei se o senhor conhece, mas um livro que gosto bastante (não o li na totalidade, mas sempre que necessito recorro a ele) é o livro de Sheldon Axler, cujo título é Linear Algebra Done Right (third edition). Não tenho um profundo conhecimento de lógica (apesar de ter uma imensa curiosidade sobre o tema), então não me sinto habilitado em penetrar nos detalhes e nuances que você menciona na sua postagem, no entanto, acho um livro bastante legal. seria até bom ouvir um comentário mais crítico e abalizado sobre este livro que acabo de citar.
    Atenciosamente,

    Antonio.

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    1. Antonio

      É pretensão minha que as postagens não percam atualidade. Não há problema algum em comentar publicações mais antigas.

      O livro de Axler é bastante interessante, pelo menos para quem inicia seus estudos em álgebra linear. Mas ainda acho que é um exemplo de texto que foca mais em aspectos didáticos do que no tratamento formal do tema. Continuo preferindo o livro de Paul Halmos para iniciar estudos em álgebra linear.

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  15. Eu conheci o livro do Axler a partir de um curso de mecânica quântica ministrado por um professor do MIT. Hoje, quando quero relembrar alguma coisa mais elementar tenho recorrido a ele. No entanto, na época que cursei algebra linear, estudei por 4 livros que também gosto muito. Em ordem de prioridade, são: 1) o livro do Paul Halmos, 2) Hofman/kunze 3) Serge Lang ( que apesar de ser o livro na terceira ordem de prioridade, acabou sendo o livro que eu mais estudei) e 4) o livro do Elon Lages. No entanto, o livro texto utilizado pelo professor era o livro do Boldrini, se não estou enganado. Não era muito entusiasmado com o livro do Boldrini, mas não o acho ruim. Por exemplo, não o indicaria para uma leitura mais séria, apesar de ajudar a fazer bastantes contas. Como conta nós esquecemos, prefiro indicar livros que aumentem nossa capacidade crítica sobre determinado tema, seja ele qual for. Outro livro de Halmos (não sei se é o mesmo Halmos do livro de álgebra linear) que acho bem legal(mas ainda não o entendi completamente) é o de Teoria ingênua dos conjuntos. Toda vez que leio este livro( na verdade, tento ler) tenho a sensação que no fundo, no fundo nenhum livro de matemática, pelo menos os que li, demonstram os teoremas que se propõem a demonstrar , mas apenas indicam que a demonstração é possível de ser obtida.

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    1. Antonio

      Para estudos de mecânica quântica, certamente o livro de Axler é mais indicado do que a obra de Halmos. Para estudos de fundamentação da álgebra linear, prefiro o de Halmos.

      Achei interessante a sua crítica sobre livros de matemática. Só por curiosidade, qual é a sua área de atuação profissional?

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    2. Este comentário foi removido pelo autor.

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    3. Sou formado e mestre em Física. Atualmente sou estudante de doutorado em Física. No entanto, sou apaixonado por matemática. E, além disso, sou extremamente apaixonado por linguística, Direito e Filosofia (em particular, Filosofia do Direito).
      As vezes eu acho que escolhi a profissão errada, mas tenho um profundo amor por Física (acho que o problema da Física são os Físicos, não todos, claro).

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    4. Antonio

      Seu breve depoimento apenas confirma uma antiga tese que tenho (que jamais tentei qualificar): físicos são criaturas de mente muito mais aberta do que a maioria dos profissionais de outras áreas.

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  16. Prof.,

    Tenho um seminário para apresentar e o meu tema foi Espaço vetorial de dimensão infinita. Poderia indicar algum material, pois encontro apenas abordagens superficiais.
    Obrigada.

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  17. É para disciplina álgebra linear 2, e já procurei em diversos livros de álgebra linear, entre eles Sege Lang, Callioli, Hoffman, Antonio de Andrade, Axler, Steinbruch... todos tem ênfase em dimensão finita.

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    1. Um bom ponto de partida está no link abaixo, incluindo as referências citadas.

      http://mathworld.wolfram.com/HilbertSpace.html

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  18. Olá professor. Primeiramente, gostaria de agradecer e parabenizá-lo pelo artigo Estava numa busca por novos livros-texto de álgebra linear e acabei descobrindo o seu blog.

    Eu sou estudante de Engenharia Eletrônica e atualmente estou pagando cadeiras do 2o período, inclusive Álgebra Linear.Eu, particularmente, não gosto nem compactuo com a visão que se tem do típico estudante de engenharia que é relaxado, que decora e aprende apenas para a prova, que bsuca sempre o mais fácil e prático, pois essa é a natureza de um engenheiro. Considero que essa visão e "costumes" adotados pelos estudantes da área são práticas nocivas ao desenvolvimento científico rigoroso e profissional e, inclusive, que foge a vários princípios ético-profissionais, que devem prezar pela máxima qualificação profissional do indivíduo, em qualquer área do conhecimento e não apenas fazer uma "arrumadinho" para passar nas provas e concluir o curso de maneira superficial. Embora a Matemática seja vista apenas como uma ferramenta para a área da Engenharia, eu, apesar de não ter ainda uma grande base conceitual matemática, prezo por buscar sempre aprimorar minha visão sobre o assunto - sob diferentes aspectos- ,seja pela busca de mais livros-texto ou elucidações sobre tópicos ou conceitos (como a fixação de conceitos como o de axioma, etc). A minha formação profissional terá impacto na vida de outras pessoas, através do meu trabalho. Aí entra o comprometimento com a responsabilidade em tudo relacionado a essa formação, inclusive a avaliação das fontes pelas quais eu obtenho conhecimento.

    Assim, inspirado pelo seu texto, venho aqui pedir alguma sugestão quanto ao aprendizado de Álgebra Linear. Tenho um pouco de dificuldade em abstrair e relacionar alguns conceitos ainda. O livro adotado no curso é o do Boldrini, que considero insuficiente para minhas dúvidas e que não contém tantos fundamentos e demonstrações sobre vários conceitos que são "jogados" ao aluno lá. Tenho o do Elon Lages no computador, mas pretendo comprar em breve a versão física dele. Há outros livros que você recomenda e que proporcionem uma base mais rigorosa a respeito dos fundamentos da Álgebra Linear e de sua relação com outras áreas, como o Cáluclo? Geralmente há respostas mais satisfatórias para essa minha pergunta em livros estrangeiros? Onde posso ter contato com mais exemplos que conectam conceitos da Álgebra Linear com o Cálculo?

    Desde já agradeço pela ajuda.

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    1. Heitor

      Dada a sua visão sobre matemática, recomendo o livro Espaços Vetoriais de Dimensão Finita, de Paul Halmos. É o melhor texto que conheço, para primeiro contato sério com álgebra linear. No entanto, o livro de Halmos não aborda tópicos avançados. Neste sentido, o livro de Elon Lages Lima é um ótimo complemento. O importante é você conhecer pelo menos o teorema espectral.

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  19. Só outra dúvida, professor: se você já teve contato com o Linear Algebra do Serge Lang, qual seria sua avaliação dele?

    Obrigado.

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    1. Heitor

      É um ótimo texto, apesar de eu preferir o formalismo adotado por Halmos.

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  20. Só uma correção no meu comentário:

    "[...] que busca sempre o mais fácil e prático, pois 'essa é a natureza de um engenheiro'.[...]"

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  21. Professor

    Este livro parece ser muito bom: http://www.ebah.com.br/content/ABAAAg-i4AK/gentil-lopes-algebra-linear-comentado

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