quinta-feira, 12 de janeiro de 2012

Como ler livros de matemática?

Desconheço livros de matemática em português que não sejam carregados de erros conceituais, em todos os níveis de ensino. Isso por si só já demonstra que não é fácil ler livros de matemática em nosso idioma.


Para ilustrar as ideias que pretendo expor, cito dois exemplos bem conhecidos na literatura especializada. O primeiro é uma obra de Elon Lages Lima, na qual há questionáveis críticas a coleções de ensino médio. O segundo exemplo é um livro altamente suspeito de Georges Ifrah, sobre história da matemática.


Preocupado com erros sistemáticos em obras de ensino médio, o matemático brasileiro Elon Lages Lima editou um livro intitulado "Exame de Textos: Análise de Livros de Matemática para o Ensino Médio" (2001, SBM), no qual ele e diversos professores colaboradores fazem uma análise sobre uma dúzia de coleções de matemática (totalizando trinta e seis livros). A obra, dirigida a professores do ensino médio, certamente tem seu mérito. Os avaliadores fazem muitas críticas pertinentes. Outras, porém, novamente tornam evidente a precária situação de nosso ensino mesmo entre matemáticos considerados importantes no nosso país. Afinal, quem critica o crítico?  


Já na primeira página há um parágrafo que diz: "A Conceituação compreende a formulação de definições, o enunciado de proposições, o estabelecimento de conexões entre diversos conceitos, bem como a interpretação e a reformulação dos mesmos sob diferentes aspectos. É importante destacar que a conceituação precisa é indispensável para o êxito das aplicações."


No mesmo texto (página 2) está ainda escrito: "Uma definição pode ser incorreta por vários motivos. Ela pode estar em flagrante desacordo com a prática universal (exemplo: "chama-se intervalo a todo conjunto de números reais"), pode conduzir a contradições (exemplo: admitir uma reta como paralela a si própria e, noutro local, dizer que um sistema linear com duas incógnitas é impossível quando as retas que representam as equações são paralelas), pode ser incompleta, deixando de lado casos importantes que deveriam ser incluídos nela, pode ser excessivamente abrangente, etc."


Porém, na mesma obra, os autores jamais deixam claro o que significam termos como "definição", "proposição", "conceito" ou "interpretação". Também não deixam claro o que significa uma conceituação precisa ou o que é uma definição excessivamente abrangente. Além disso, como pode a conceituação compreender conexões entre conceitos? Não há uma bizarra circularidade aqui? 


Outro ponto falho no texto é o uso inadequado de "etc.". Para o leitor, esse "etc." pode interessar e muito. Aparentemente demanda um tratado sobre definições. Onde conseguir isso? Os autores não recomendam qualquer literatura específica como, por exemplo, a excelente obra de iniciação "Definições: Termos Teóricos e Significado" de Leônidas Hegenberg (Cultrix/EDUSP, 1974). Se o público alvo é o de professores e demais profissionais ligados ao ensino, é importante que informações complementares ajudem a orientar os leitores, para que elas minimizem erros e preencham lacunas de formação.


Parece bastante prudente considerar que um treinamento em lógica elementar seria recomendável para professores de matemática e áreas correlatas. Escrever sobre educação matemática para professores do ensino médio não é uma tarefa fácil. Pelo contrário, é extremamente difícil e talvez até ingrata. Um professor de ensino médio minimamente inteligente que leia a obra em tela de Elon Lages Lima deve achar o conceito de "conceituação precisa" pouco preciso. Por isso, parece altamente recomendável que um autor de qualquer livro de matemática (seja qual for o público-alvo) seja humilde o bastante para perceber que não há livros de matemática sem erros. O que se faz necessário é uma vasta bibliografia, para que se permita extrair um pouco de "ouro" de "uma tonelada de papel impresso".


Insisto que jamais proponho um estudo de lógica formal no ensino médio. O que sugiro é um treinamento direcionado a profissionais, sobre noções básicas de lógica formal. Isso certamente ajudaria a evitar certas discussões amalucadas que pouco contribuem para a educação. E poderia se refletir de forma bastante construtiva nos textos de matemática do ensino médio e até mesmo na prática da sala de aula.


Outro ponto que chama atenção sobre o livro de Lima é o fato de que o editor defende a prática da manipulação algébrica na resolução de problemas como uma atitude mental automática, verdadeiro reflexo condicionado (usando a terminologia do próprio autor), que permita ao usuário da matemática concentrar sua atenção nos pontos cruciais, sem perder tempo e energia com detalhes. 


Compreendo a postura pragmática de Lima, usual na matemática de alguns dos melhores centros do mundo. Mas acho que esse é um ponto que deveria ser melhor qualificado, pois trata-se de uma questão extremamente delicada. Um dos piores aspectos em sistemas educacionais como o nosso é justamente a falta da prática de senso crítico em sala de aula, tanto por parte de alunos, quanto de professores e até mesmo autores, como o próprio Lima. 


Matemática não se faz por doutrinação, revelação, autoridade ou tradição. Matemática se faz criticamente. Certos detalhes que comumente são associados a meros preciosismos podem ter extrema relevância, dependendo do contexto.


Essa postura incondicional de Lima faz lembrar de um evento que ocorreu com Richard Feynman, ganhador do prêmio Nobel em Física, durante uma estada de alguns meses no Rio de Janeiro. 
Lecionando eletromagnetismo de Maxwell para jovens brasileiros, Feynman exibiu dois filtros polaróides aos alunos e perguntou como determinar a direção absoluta de polarização de um único polaróide. Ninguém respondeu. Ele achou aquilo muito estranho e, olhando para a luz solar que refletia no mar, insistiu com uma sugestão: "Olhem a luz refletida da baía." Silêncio absoluto na sala de aula. Intrigado, Feynman perguntou se eles já ouviram falar alguma vez a respeito do ângulo de Brewster. Imediatamente veio a resposta: "Sim, senhor! Ângulo de Brewster é o ângulo no qual a luz refletida por um meio, com um dado índice de refração, é completamente polarizada." E aproveitando o embalo, Feynman prossegue: "E em qual direção é a luz polarizada quando refletida?" A resposta estava automaticamente na ponta da língua dos estimulados jovens: "A luz é polarizada em direção perpendicular ao plano de reflexão, senhor!" Feynman, então, tentou finalizar: "Portanto..." Ninguém disse coisa alguma. Feynman pediu aos alunos para que olhassem para a baía através do polaróide e que rotacionassem o instrumento. Foi quando todos ficaram perplexos: "Oh, a luz está polarizada!"
A versão completa deste episódio está no livro "Está a Brincar, Sr. Feynman" de Richard Feynman (Gradiva, 1985). No mesmo livro Feynman revela que após muita investigação, sua conclusão era a de que aqueles estudantes memorizaram tudo o que lhes foi ensinado, de maneira automática (suficiente para serem aprovados em exames), mas sem entenderem o significado daquilo.


Definir o que é crucial no processo educacional é tarefa extremamente complicada, talvez impossível de ser realizada, sem estar sujeito a duras críticas e irreversíveis erros. Por que o aluno deve memorizar de forma mecânica, por exemplo, que não existe divisão por zero (como o próprio Lima estranhamente defende em seu conhecido livro de análise matemática)? Se o objetivo é uma educação em massa, sem cuidados com a intelectualidade do indivíduo, talvez esse seja o melhor caminho. Afinal, muitos profissionais da matemática julgam que apenas os sobreviventes ao sistema educacional brasileiro são merecedores de atenção.


Mas se a meta social é estimular potenciais pensadores do futuro, a atitude mental automática pode ser extremamente perigosa. Por um lado, ela pode agilizar o trabalho do matemático profissional, permitindo-o progredir em seus estudos com eficiência e rapidez, como sugerido por Lima, o qual trabalha em um centro de excelência em matemática que paradoxalmente até hoje não produziu um único ganhador da Medalha Fields, o "Nobel" da matemática (não seria isso um diagnóstico de fracasso do IMPA?). Por outro lado, essa mesma atitude mecânica pode também contribuir na formação de preconceitos, como a pobre mentalidade de que divisão por zero não faz sentido, ou a infeliz noção de que vetores são entes abstratos com módulo, direção e sentido. Não critico de maneira inflexível a visão pragmática de Lima, até porque na prática ela apresenta vantagens impressionantes, como um rápido progresso por parte de muitos estudantes e até mesmo profissionais da pesquisa. Apenas considero que tal postura deve ser melhor qualificada e dependente do contexto sobre o que se deseja produzir. Toda ideologia incondicional é suspeita de catalisadora da ignorância e deve ser examinada de maneira profundamente crítica. E são muitos os matemáticos brasileiros que acreditam incondicionalmente em suas práticas. Um passo fundamental para o progresso é admitir que podemos estar errando. E acredito que estamos todos errando.


Não faço aqui uma análise crítica detalhada da obra editada por Lima, até porque isso demanda outro livro, dada a quantia de impropriedades lá presentes. Mas Lima e colegas não se limitam a críticas. Eles também apresentam propostas. Uma dessas está no livro "A Matemática do Ensino Médio" de Elon Lages Lima e colaboradores (SBM, 1996), a qual corresponde a um texto de matemática direcionado ao professor de ensino médio. No entanto, mesmo nessa obra há aspectos surpreendentemente questionáveis. 


Já na primeira página do Capítulo 1 está escrito que "[t]oda a Matemática atual é formulada na linguagem de conjuntos."
Pelo amor de Deus! Isso é falso! Erro grave! Basta pensar por poucos segundos para perceber que a afirmação é falsa. O cálculo proposicional clássico e algumas formulações de teorias de categorias são dois exemplos muito conhecidos de teorias matemáticas que são fundamentadas em linguagens não-conjuntistas. Até mesmo um estudante de ensino médio poderia perceber esse erro. Afinal, se toda a matemática é formulada na linguagem de conjuntos, então isso deve incluir a própria teoria de conjuntos. Precisamos da linguagem de conjuntos para formular a teoria de conjuntos? Não há uma inconveniente circularidade nessa afirmação? 


Mas independentemente deste erro, há vários exemplos de inconsistência interna com relação a tal afirmação. Ou seja, nem o próprio Lima acredita no que diz. Na página 25, por exemplo, lê-se que "[n]úmeros são entes abstratos, desenvolvidos pelo homem como modelos que permitem contar e medir." Mas se a linguagem de conjuntos é universal a ponto de formular toda a matemática atual, os números não deveriam ser conjuntos? Onde está a conceituação precisa considerada tão importante por Lima? 


É claro que afirmar para um aluno do ensino médio que números são casos particulares de conjuntos pode estar fora de questão, devido à formação precária dos jovens, se comparada com os pré-requisitos necessários para compreender tal concepção. Mas o professor de matemática não deveria entender isso melhor? Afinal, a obra em questão é direcionada a profissionais do ensino. E se um aluno encurralar um professor com perguntas do tipo "Se conjuntos fundamentam a matemática, por que números não são conjuntos?", ou "Então a teoria de conjuntos é formulada na linguagem da teoria de conjuntos?" Aposto meu braço direito que pelo menos 90% dos professores de matemática do ensino médio no Brasil não sabem responder a essas questões de maneira qualificada.


Além disso, se números servem para contar e medir, o que exatamente os números racionais estariam contando ou medindo? Sabe-se que o conjunto dos números racionais é equipotente ao conjunto dos números naturais. Isso significa que os números racionais podem ser empregados em processos de contagem, assim como os naturais? Mas os números racionais, bem como os naturais, são usualmente considerados como sub-conjuntos do conjunto dos números reais, os quais, imagino, seriam úteis em processos de medida. Afinal, racionais (e naturais) são úteis para contagem ou medida? Como se operam tais processos de contagem e medida? O que é medida? O que é contagem? Contagem é uma associação que se faz entre objetos e números naturais? Não há uma nova circularidade implicada?


É claro que esses temas não interessam a alunos do ensino médio, mas a obra em questão não é direcionada a este público. É dirigida ao professor. Não deveria o professor conhecer um pouco melhor esses temas? Se tais assuntos são de, algum modo, impertinentes no contexto da obra, não deveria haver citações a referências complementares? Afinal, quem trouxe o assunto à tona? Um livro de matemática não deveria ser auto-suficiente? Ou será que Lima e colaboradores defendem a ideia de que professores de ensino médio devem dominar somente os conteúdos de seus livros?


Também na página 211 do livro sobre matemática no ensino médio, diz-se que "seno e cosseno pertencem ao ângulo, e não ao eventual triângulo que contém." Este é um dos piores absurdos que já li em minha vida. O profissional ou o aluno de licenciatura podem ficar completamente perdidos quando se diz que seno e co-seno pertencem a um ângulo. O que significa o termo "pertencem"? Tem o mesmo significado que ocorre em teoria de conjuntos, a alegada linguagem universal da matemática? Essa bizarra declaração significa que ângulo é um conjunto de senos e co-senos? É esse o conteúdo que os professores de ensino médio devem passar para seus alunos? Qual é a contribuição real à formação de professores dada aqui?


A teoria de conjuntos oferece a possibilidade de uma visão parcialmente unificada para a matemática do ensino médio e até mesmo para a matemática de cursos de graduação e pós-graduação. Sem apelar a ela, corre-se o risco de expor a matemática como uma "colcha de retalhos", na qual matrizes são tabelas, probabilidades são razões entre números de ocorrências de eventos, e números são entes abstratos úteis para processos de contagem e medida. Por isso, as questões que julgo relevantes são:


(i) Como transpor a linguagem conjuntista para o aluno de ensino médio?


(ii) Como justificar a importância da teoria de conjuntos no ensino médio?


Somente profissionais que conheçam muito bem teorias de conjuntos e lógica podem responder a essas duas questões.


Meu segundo exemplo de literatura suspeita tem enganado até mesmo experientes professores universitários. Tratam-se dos livros bem conhecidos de Georges Ifrah, "História Universal dos Algarismos", Tomos 1 e 2 (Nova Fronteira, 1997), sobre história da matemática, que acabam tirando proveito da ignorância da população acadêmica brasileira e de outros países também, incluindo França e Estados Unidos.


Desconheço a existência de algum historiador de matemática em nosso país, especializado em algo não-trivial que se encontre além da história matemática brasileira. Por isso, sou obrigado a recorrer à opinião de especialistas de outros países. Isso porque história da matemática demanda, além de profundo conhecimento matemático, o acesso a documentos históricos originais, bem como a devida leitura e interpretação deles no contexto social da época em que foram originalmente escritos. 


Georges Ifrah escreveu uma obra monumental em termos de volume de informações. A edição brasileira, traduzida do original francês Histoire Universalle des Chiffres, conta com dois tomos que totalizam mais de mil páginas, com mil e seiscentas figuras, tabelas, fac-símiles de documentos e ilustrações. O autor, ex-professor de matemática, viajou a inúmeros países como Estados Unidos, Egito, Índia, México, Peru e China, visitando os mais famosos museus do mundo, com o propósito de coletar extenso material para sua obra. Sem ajuda financeira, ele se submeteu a diversos empregos que permitissem sustentar seu dia-a-dia e sua empreitada, como office boy, motorista, garçom e até vigia noturno de um hotel. 


No prefácio do primeiro tomo, Ifrah demonstra ser totalmente desprovido de modéstia, ao afirmar que seu objetivo é "responder em termos simples e acessíveis e da maneira mais completa possível a todas as questões que o público se coloca com respeito à história universal dos algarismos e do cálculo, evolução complexa e multiforme que se estende da pré-história à era dos computadores e que parte das operações mais elementares – errando no terreno das aritméticas especulativas, místicas, religiosas, mágicas ou adivinhatórias – para desembocar nos cálculos mais gerais possíveis, após ter passado pela descoberta do zero e da numeração de posição."


A tradução para o português é ruim, mas a obra é um best seller traduzido para diversos idiomas, incluindo o inglês. Famosas mídias de comunicação em massa enalteceram o trabalho de Ifrah. Segundo o L’Express, o autor é "o Indiana Jones da aritmética [...] que decidiu em 1974 iniciar a busca pelo seu Gral, a origem dos números." Publicações respeitadas como The Guardian, The International Herald Tribune e Le Figaro também não economizaram nos entusiasmados elogios aos dois volumes. 


Aqui no Brasil muitos professores universitários usam essa obra como referência histórica em suas aulas, influenciando as mentes de nossos jovens e impressionáveis estudantes.


Mas a questão que deve ser levantada é a seguinte: "O que os historiadores de matemática pensam sobre a famosa obra de Georges Ifrah?"


Um grupo de cinco historiadores franceses começou a ficar preocupado com os livros em questão. Apesar de textos ruins não faltarem no mundo, este merecia especial atenção, dada a sua popularidade e levando-se em conta o tema. O objetivo desse grupo era prestar esclarecimentos sobre os graves problemas no que Ifrah escreve. 


No entanto, sustento o presente texto em artigos publicados na prestigiada Notices of the American Mathematical Society, escritos por Joseph Dauben (no volume 49 de 2002, páginas 32-38 e 211-216), professor de história da ciência no Lehman College da City University of New York


Em linhas gerais, a resenha crítica feita por Dauben pode ser resumida da seguinte maneira: 


(i) Nos dois tomos o autor reivindica descobertas históricas que, na verdade, foram anteriormente feitas por outros; 


(ii) Os livros nada acrescentam em termos de fatos ou análises históricas sensatas sobre a história dos algarismos; 


(iii) Na obra há informações históricas que foram meramente inventadas; 


(iv) O autor ignora a história detalhada de números famosos como o e (base dos logaritmos naturais) e o π (a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro), os irracionais, os transcendentes, os transfinitos, os quatérnions, os perplexos e os infinitesimais (citando apenas alguns exemplos); 


(v) O autor promete discutir sobre assuntos como computação quântica, mas não o faz. 


É claro que Dauben e os franceses mencionados podem estar equivocados ou invejosos e, de algum modo, mancomunados para a execução de uma perversa conspiração contra Ifrah. Mas o fato é que no Brasil circulam livros sobre história da matemática que têm se consagrado mundialmente ao longo de anos como referências confiáveis, como a obra de Carl Boyer ou a de Howard Eves. Por que então apelar para um livro tão controverso como o de Georges Ifrah? Além disso, há fascinantes e excelentes livros de história da matemática que não foram ainda traduzidos para nosso idioma, como as obras de Nicolas Bourbaki e de Eric Temple Bell, que apesar de tendenciosas, são razoavelmente confiáveis e endossadas por profissionais da história da matemática e de reputação internacional.


O Brasil conta com professores de cálculo diferencial e integral e de álgebra linear suficientemente competentes para decidirem, com certa sensatez, se uma nova obra lançada sobre um desses temas pode ser adotada em sala de aula. Mas não há historiadores que realmente conheçam a matemática indiana, maia, chinesa ou persa. Nesse caso, por que não contar com a opinião de especialistas? 


Toda a literatura que acessei e que elogia o que Ifrah fez foi escrita por leigos em história da matemática. Toda a literatura que acessei e que foi escrita por historiadores profissionais denuncia os livros de Ifrah como lamentáveis, decepcionantes, não recomendáveis. Como não sou historiador da matemática, prefiro confiar em quem é.


Além disso, qual é o autor confiável que escreve no prefácio de um livro que ele responderá a todas as questões que o público possa colocar sobre algum assunto não-trivial, como a história dos algarismos? História da matemática, ou mesmo a história dos algarismos, é um tema de elevada complexidade. Afirmar que todas as questões serão respondidas é o mesmo que declarar que existe fim ao senso crítico.


Qual é o problema sobre a postura de sermos cuidadosos? Quando vi o livro de Ifrah pela primeira vez, imediatamente fui atrás de resenhas críticas sobre ele. Afinal, não sou especialista em história para poder opinar sobre o tema. E já vi professores universitários com boa bagagem matemática serem completamente descuidados e simplesmente adotarem os dois tomos de Ifrah sem pestanejarem. Afinal, é uma obra famosa! Mas Playboy também é uma publicação famosa. E nem por isso é aconselhável seu uso em aulas de matemática.


Se uma revista de divulgação científica ruim como a Superinteressante vende quatrocentas mil cópias ao mês, enquanto revistas de boa qualidade como a Scientific American Brasil ou Pesquisa FAPESP vendem apenas quarenta mil cópias ao mês, isso ainda é compreensível. Até porque o povo brasileiro quer saber o que acontece no mundo científico mas não tem ideia de como procurar esse conhecimento. No entanto, um professor universitário que não adota critérios sérios para selecionar o que usará em uma sala de aula com seus alunos é uma ameaça, é mais uma célula cancerosa no seio da sociedade acadêmica. 


Se nem mesmo em nossos professores universitários podemos confiar, principalmente quando se proclamam como membros da elite intelectual da nação, quem terá sobrado? Adriane Galisteu?


Portanto, minhas recomendações para leituras de livros de matemática são as seguintes: sempre desconfie do que lê; compare com outras obras; discuta com pesquisadores atuantes e de reconhecida competência internacional; leia resenhas sobre as obras; e, finalmente, pense de forma crítica. Os erros sempre persistirão. Não há como evitá-los. Mas, pelo menos, serão menos graves.

85 comentários:

  1. Podia escrever posts mais curtos?

    Lucas

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    1. Abdias

      Esta é uma das questões mais complicadas no blog. Textos longos frequentemente não são lidos. E textos curtos não permitem qualquer aprofundamento de ideias. É muito difícil lidar com este problema.

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  2. O primeiro contato que tive com o termo 'conceituacoes precisas' foi em um livro de Ana'lise Matematica para licenciatura, cujo autor e' Geraldo Avila, quando tentou explicar o surgimento da Ana'lise Matematica após o ano de 1820. Ele traz de modo superficial um conceito sobre lógica, definição e teorema. O senhor chegou a ler essa obra?

    A parte do texto que citou os inúmeros equívocos de Ifrah, me fez recordar a MAIORIA dos acadêmicos de medicina que precisam fazer algum artigo a todo custo e vomitam informações e conclusões completamente equivocadas, principalmente quando se metem no universo estatistico, porém esquecem de um simples detalhe: VALIDAR suas ações por um ESTATISTICO. Quando assisti uma palestra ministrada por um estatistico do hospital E.G, fiquei pasmo ao saber das tamanhas atrocidades cometidas contra as teorias e aplicações estatisticas, tais como: dimensionamento amostral, regressão linear, Ana'lise de dados e ate mesmo ESTATISTICA DESCRITIVA. E o pior foi saber que os 'futuros medicos' na maior parte das vezes trazem a base de dados completamente viciada, mas oque isso tem a ver com Ifrah? Se ambos desde o inicio quisessem algo serio e realmente consistente por informações precisas, teriam começado desde o inicio da maneira correta, buscando ajuda, amparo e auxilio de quem realmente entende do assunto e que inevitavelmente ira validar o trabalho final.
    Texto bem interessante professor, comprei um livro de Matematica para o ensino médio, com o intuito de localizar os erros afim de agussar minha percepção Matematica e sensibilidade quanto as definições.

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  3. Lucas

    De fato estou preocupado com o tamanho das postagens. Pode crer que omito muita informação em cada texto. Mas ainda assim a coisa funciona como no cinema: quanto mais longo o filme, menos gente assiste.

    Oi, Flavio

    Este texto em especial do Geraldo Avila eu desconheço. O livro de cálculo dele considero fraco.

    Com relação aos seus comentários sobre empregos equivocados de estatística, fortemente recomendo o site de Juan Miguel Campanario. Está na página de links recomendáveis deste blog. Este físico espanhol é o crítico que eu gostaria de ser. O cara é fenomenal.

    Com relação à sua iniciativa de procurar por erros na literatura, não sei se é uma boa ideia. Criticar é muito mais fácil do que produzir. Um jovem motivado como você deveria se dedicar a ações construtivas. Ao invés de ler textos elementares, em busca de erros, estude tópicos avançados de estatística (sua área de atuação). Deixa as críticas pra velhos rancorosos como eu. Eu só escrevo essas coisas hoje em dia porque cansei do sistema como um todo. Quando jovem, produzi algumas coisas que guardo com carinho. Mas hoje meu desânimo com a educação dominou o espírito.

    Você está na fase de sua vida que demanda crescimento intelectual e profissional. Invista nisso. Se usar sua juventude para críticas, nenhum fruto bom será colhido no futuro.

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  4. Vc poderia diminuir a fonte do texto, que está exagerada na minha opinião. O mais comum é o tamanho 12.
    Poderia também aumentar a largura da coluna.

    Assim passaria a impressão do texto ser mais curto. Infelizmente existem pessoas que desistem da leitura apenas pelo tamnho do texto.

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  5. Adonai, como sempre suas críticas são cuidadosas, refletidas e obviamente passíveis de enganos. E isso você sempre aponta, com sabedoria. Não posso argumentar e contrapor um assunto tão rico. Mas posso afirmar que lendo seu blog (e conversando com vc) estou aprendendo a ser mais cautelosa em meus apontamentos. Não é fácil ser professor. Muitas coisas que falamos são abraçadas pelos alunos e nem percebemos. Depois de anos dando aula, reencontrei um aluno que me disse que nunca havia esquecido XX coisa que falei em uma aula. Fiquei boquiaberta com aquilo, pois é algo que penso de forma diferente hoje em dia. Desde aquele dia, sempre que falo algo em sala afirmo (HOJE creio que xxxx mas não sei o que o futuro me mostrará e o que aprenderei.) Ou seja, faço com que não acreditem de imediato nas coisas, mas que procurem ir atrás, pesquisar, pensar, refletir... e ter ideias próprias e não ficar papagueando o que os outros dizem, seja papai, mamãe, professor, amigos, etc... peneirar... este é um dos segredos da vida, tão difícil de realizar! Apenas peneirar!

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  6. Olá professor Adonai. Acompanho com entusiasmo o que escreve, acho excelentes seus textos. Como até dois artigos atrás sempre concordei com suas posições, me abstive de comentários (apesar de saber que um - "falou e disse" - é agradável a quem escreve, acho pouco construtivo). Como minha discordância aqui é de tom e não de timbre, achei talvez pertinente um comentário. Uma observação é sobre jamais se propor um estudo de lógica no ensino médio. Sou da opinião que uma tal lacuna é (uma) responsável pela falsa impressão que os alunos têm de o que de fato é Matemática. A isto soma-se uma postura, à qual costumo me opor, de que precisão conceitual (seja lá o que isso signifique) e abstração não são interessantes a um aluno de ensino médio. Posso justificar minha postura somente contando minhas experiências. Como aluno (de ensino médio), sempre questionei conceitos e me importei com suas consequências. Só um dos episódios da minha saga contra o mandamento - "não dividirás por zero" - ficaria maior que seu artigo. O fato é que a matemática me foi passada como uma coleção de mandamentos, em sua maioria confusos e contraditórios, aos quais não cabiam questionamentos. Por isso ingressei no curso de física. No ensino médio a física me foi apresentada como uma constante discussão de conceitos os quais eram honestamente apresentados como dúbios. Era esta honestidade que me importava. Levei mais tempo que deveria a me formar em física por lutar contra o fato de que na graduação estes papéis estão trocados. Não se discute as "Escrituras" da física, enquanto o estudo da matemática envolve pensamento crítico e conhecimento construtivo (o meu, ao menos). Isto me atrasou em anos. Hoje trabalho com matemática, mas o custo deste engano no ensino médio me foi alto.
    Outra observação é sobre o papel superestimado que a(s) teoria(s) de conjuntos tem hoje. Em nível médio, acho que deva ser ensinada, mas sem que se faça disso um tópico central. O motivo é justamente a falsa impressão que se passa de que não existe matemática fora da linguagem conjuntista. Uma das minhas grandes dificuldades hoje é remover esta visão que acomete até mesmo matemáticos de renome, em instituições de renome. Já ouvi, por exemplo, que não é possível uma teoria física sobre uma lógica não clássica pois não se teria um componente essencial à construção das ferramentas necessárias: a teoria de conjuntos subjacente. Nada mais longe da verdade. São preconceitos difíceis de se combater. Meu receio é que a apresentação prematura da linguagem conjuntista só piore as coisas.
    Mas acho que gostaria de ter aprendido teoria de categorias no ensino médio. Felicidades.

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  7. Oi, novo(?) Anônimo

    Grato pela dica. Para mudar a largura da coluna de texto talvez eu devesse modificar o formato inteiro do blog. Minha familiaridade com essas ferramentas é limitada e o próprio blogspot parece não oferecer tantas opções. Mas pensarei em algo. Com relação ao tamanho da fonte, farei uma pesquisa de opinião. Talvez o melhor mesmo seja escrever textos mais curtos.

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  8. Luiz Henrique

    O que eu disse no texto é que não insisto em lógica formal para o ensino médio. Mas isso também não quer dizer que eu seja contra. Para ser bem sincero, não tenho uma opinião formada sobre isso. Seja como for, lecionar lógica para o ensino médio certamente demandaria uma cuidadosa transposição de conhecimentos. Não é tarefa fácil.

    Com relação à teoria de categorias, foi dito para mim (de fonte altamente confiável) que o Lawvere (um dos grandes mestres no estudo de categorias) escreveu e publicou livros de ensino médio com abordagem categorial, ao invés de conjuntista. Mas aparentemente a iniciativa não se popularizou.

    Com relação à abordagem conjuntista, ela é importante sim para dar um senso de unidade a vários ramos da matemática. Mas evidentemente isso não significa que devemos nos escravizar a ela.

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    1. Para alterar o design (larguras) é fácil:

      No seu painel, clica em "design", depois "designer do modelo" (ao lado direito de 'Editar HTML').

      Na tela seguinte, na parte superior tem a opção "ajustar larguras".

      Você pode aumentar a parte do texto e diminuir (ou aumentar) a barra lateral.

      Só muda as larguras, não precisa alterar o restante.

      É muito fácil, sério.


      Esqueci de sugerir, é bom justificar o texto também. A aparência do blog ficaria mais bonita e atrativa.

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  9. Prezado Prof,

    Acompanho seu blog desde que procurei, na web, por um livro de sua autoria: O que é uma definição. Seu livro me foi indicado por um amigo seu, Luiz Fernando Nunes, meu prof. de Cálculo II, na UTFPR, instituição da qual sou egresso de engenharia elétrica. Comprei o livro, entretanto, ainda não me organizei para lê-lo. Mas isso consta como tarefa a ser concluida. Enfim, li esta última postagem e me deparei com o nome de Elon Lages Lima, autor de um famigerado texto de Análise Matemática (Um curso de Análise - em dois volumes) os quais adquiri para poder aprimorar meu conhecimento em análise e, posteriormente, fazer uma leitura de Eletrodinamica Classica ( John David Jackson). Fiquei um pouco receoso sobre usar o livro de Elon em meus estudos após ler esta última postagem. Gostaria de pedir, portanto, uma dica ao prof.: tendo em vista suas criticas a abordagem do Elon, devo procurar outro livro ou posso me servir desse livro mesmo? Pergunto ao prof. pois farei tal investida como autodidata e sei que não será uma empreitada fácil.

    Saudações,

    Lucas (não o mesmo lucas do outros comentários)

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  10. Olá Prof. Adonai.

    Confesso que esta é a primeira (e, até o presente momento, a única) postagem do seu blog que li. Na verdade o título me chamou a atenção, mas a resposta dada a ele não é exatamente aquela que eu imaginaria receber.

    Curiosamente é Elon Lages Lima, um dos criticados em seu texto (talvez não tão construtivamente), o autor que deu a resposta mais satisfatória que eu conheço para a pergunta que o sr. propõe em seu artigo.

    Para quem, como eu, imaginou que seu texto versaria sobre outra coisa, transcrevo aqui as sábias palavras do mestre: "não se lê um livro de Matemática como se fosse uma novela. Você deve ter lápis e papel na mão para reescrever, com suas próprias palavras, cada definição, o enunciado de cada teorema, verificar os detalhes às vezes omitidos nos exemplos e nas demonstrações e resolver os exercícios referentes a cada tópico estudado" (Elon Lages Lima, no prefácio do livro curso de análise vol 1).

    Outra coisa, é que eu gostaria que o senhor desse uma referência mais precisa daquilo que chama de "conhecido livro de análise matemática" de Elon L. Lima. É que estudo com os livros dele (tanto "análise real" quanto "curso de análise vol. 1" - ambos conhecidíssimos)e não estou me lembrando de ter lido este fragmento, portanto queria saber se é um destes e em qual página está.

    Obs: no parenteses acima, eu disse que sua crítica não é tão construtiva, pois quem não conhece as obras de Elon vai terminar de ler seu texto e ficar com a (falsa) impressão de que o que ele escreve é semi desprezível - o que é um absurdo (na minha opinião, é claro, já que não conheço autor brasileiro que se equipare a ele no que diz respeito a escrever sobre Matemática).

    Mas não vejo problema algum em expressar minha opinião já que o sr. também o fez. A propósito, enquanto lia seu texto lembrei-me de coisas que o Elon diz, tais como que se a coleção "matemática do ensino médio" fosse ter um livro anterior ao primeiro volume seria sobre gramática e não sobre lógica. Daí fiz a hipótese de que suas críticas tem algo a ver com este posicionamento do criticado (já que, aparentemente, seu ramo é a lógica).

    Espero que todos os seu leitores notem que o sr. também não acredita muito no que diz. Mas não vejo que o seu problema seja circularidade, mas sim inconsistência (o que é pior? não sei você é o lógico e não eu). Em certo comentário você diz "Pode crer que omito muita informação em cada texto". Já parou para pensar que para o leitor estas informações omitidas "pode interessar e muito"?

    Neste sentido, para quem não conhece o livro criticado, vale ressaltar algumas coisas não ditas: na página 44 da obra criticada "a matemática do ensino médio" o autor esclarece alguns pontos sobre definir número utilizando o conceito de conjuntos. Em outras páginas (por exemplo 71) ele indica que se leia o livro Análise Real no qual se pode encontrar referências mais completas sobre definir número usando conjuntos (Halmos, por exemplo). O que é contagem está dito na página 45, o que é medida está dito nas páginas 52-53. Deste modo, para que lê as obras do Elon, há sim "citações a referências complementares" (outro exemplo é na página 64, na qual ele sugere "meu professor de matemática", uma obra que contribui bastante em diversos aspectos).

    Mudando de obra, no "exame de textos" por vezes ele sugerem que se leia livros da coleção "a matemática do ensino médio", coleção na qual eles sugerem outros livros. Daí o leitor interessado pode ir construindo o conhecimento - pois é impossível que se diga tudo em uma única obra.

    Sobre Ifrah desconheço totalmente, logo não tenho nada para comentar.

    Peço desculpa por permanecer no anonimato (sei que é deselegante). Mas como meu comentário pode ser mal interpretado, prefiro assim.

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  11. Adonai


    Seria correto afirmar que a Teoria de Conjuntos está para a Matemática assim como a Teoria de Campos está para a Física, em termos de grau de importância?????

    Pergunto isso, pois já vi muitos bons livros de Física nos quais os físicos buscam representar todos os conceitos e ideias possíveis em Física por meio da ideia de Campos, desde a Mecânica Newtoniana até a Mecânica Quântica, passando pela Relatividade!!!!!!

    Se não me engano, até mesmo teorias envolvendo espaços "n" dimensionais procuram encontrar respaldo na Teoria de Campos, como no caso das teorias Kaluza-Klein, Supercordas, a própria Teoria de Unificação das Forças da Natureza, o Campo de Yang-Mills, etc.

    Já vi menções também do próprio Riemann sobre o uso de um tal de Tensor Métrico (que não faço a menor ideia do que se trata) para contestar a Geometria Euclidiana, dando a entender uma possível relação entre Teoria de Campos e o tal do Tensor Métrico que muitos físicos usariam como ferramenta em Teoria de Campos, segundo um dos livros do físico Michio Kaku.

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  12. Anônimo de 12 de janeiro

    Agradeço pelas informações. Assim que eu puder, investirei no novo visual do blog.

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  13. Lucas,

    Os livros de Elon Lages Lima sobre análise matemática são excelentes referências para um primeiro contato com o tema. São razoavelmente precisos e didáticos. Com relação ao livro de Jackson para aprender eletromagnetismo, ele é sensacional. O único problema é que se trata de uma leitura difícil. Se Jackson fosse mais didático aquele livro deveria ter o triplo do tamanho.

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  14. Anônimo de 13 de janeiro

    Admito que fiquei bastante receoso de veicular esta postagem. Isso porque as contribuições de Elon Lages Lima à matemática e ao ensino de matemática são indiscutivelmente valiosas. Se meu tom pareceu não construtivo, só posso pedir desculpas. Não foi esta a intenção. Apenas quis ilustrar, usando um autor bem conhecido, que ninguém está acima da crítica. Eu mesmo já passei por críticas incisivas e extremamente pertinentes, no que se refere às minhas contribuições em lógica matemática. Pretendo postar algo a respeito disso em breve.

    O livro que você pede referência é o Curso de Análise, volume 1. Como não estou com ele aqui, neste momento, indicarei a página em breve. Mas, se bem me lembro, está na discussão sobre corpos.

    Sobre a questão da alegada inconsistência no que escrevo, por um lado fico animado com isso, mas, por outro, fico um pouco preocupado. Fico animado ao perceber que alguém está lendo criticamente o que escrevo. Essa é uma de minhas metas. Mas também fico preocupado porque a sua crítica não me parece exatamente bem fundamentada. Afinal, isto é um blog. Há limitações de espaço. Além disso, tenho procurado responder a todos os comentários justamente para preencher as lacunas. Já cheguei a responder até mesmo na forma de postagem, justamente para detalhar melhor certos temas. Observe que você mesmo não respondeu a várias críticas ali feitas. E imagino que isso se deva às mesmas dificuldades de espaço.

    Com relação aos supostos esclarecimentos sobre maneiras de definir números (no livro de ensino médio) a partir de conjuntos, a questão principal que fica é: consistência no texto. Termos usuais em livros de matemática como "ente" deveriam ser seriamente evitados.

    Apenas quero que entenda que não houve qualquer ataque pessoal a quem quer que seja. O que defendi em minha postagem é que não se pode confiar em uma única referência, da mesma maneira como você sabiamente desconfiou do que escrevi.

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  15. Leandro

    De fato teorias de campos são muito presentes em física teórica. O Arnol'd, por exemplo, trata mecânica clássica como uma teoria de campos. Sobre teorias de supercordas ou D-branas nada posso dizer, neste sentido. Isso porque não conheço tão bem o tema. Sempre que eu começava a estudar supercordas, me deparava com o inconveniente daquele conhecimento já estar ultrapassado.

    Mas não sei se é sensata qualquer comparação como aquela que você sugere. O caráter epistemológico de conjunto é radicalmente diferente daquele do conceito de campo em física.

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  16. A busca por conhecimento de fato não pode ser limitada por um autor ou referencia, pois ao ler diversas fontes sobre Teoria das probabilidades e Ana'lise real, alguns dos autores sao redundantes e ate mesmo usam sinônimos para exemplificar situação /problema e alguns seguem o mesmo raciocínio de progresso no conteúdo, por isso qnd quero saber sobre um assunto, verifico quem e' a referencia. No exemplo citado optei pelo autor Sheldon Ross, não necessariamente por ser mundialmente reconhecido e sim por ser um probabilista de sucesso. Se por ventura determinado assunto tiver poucas referencias, essa lacuna pode ser uma brecha que a ciência esta clamando para que seja estudada, pois acredito na verdade empírica e construtiva, e isso me faz ser favorável a proposição apresentada pela Susan. na frase entre parênteses que inicia na 11 linha lendo de baixo para cima do texto. Ratificando o meu pensamento sobre referencias bibliográficas, acredito ser importante ter um ponto de partida sugerido pelos nossos mestres, porém torna-los como verdades absolutas sem ao menos comparar idéias e conteúdos de diferentes referenciais, um erro.
    Professor há alguma versão em português que aborda assuntos (se possível as referencias que utilizara como apoio teórico para lecionar nesse próximo semestre) sobre conjuntos e outro sobre lógica para me indicar?

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  17. Flávio


    realmente, não existe nada mais chato e pedante do que a redundância, mesmo padrão de raciocínio e idêntica abordagem epistemológica por parte dos vários autores, sendo muitos deles de considerável renome.

    Em particular na Química, existem alguns exemplos grotescos disso, quando se trata de livros-texto para a disciplina de Química Geral, do primeiro ano do curso.

    Os livros "Química Geral" do John Russell, "Química Geral" de J.E. Brady e H.E Humiston e "Química Geral" de Quagliano, seguem descaradamente uma mesma proposta metodológica, com muitos exemplos até mesmo idênticos e todos os três com um baixo rigor técnico na mesma proporção. Acabam por ser quase que totalmente redundantes, além de seguirem a mesma linha de raciocínio.

    Dos três citados anteriormente, o livro do Quagliano parece uma mistura dos livros do Russell e de um outro livro, de Química Inorgânica, de John D. Lee.

    Com relação ao livro de J.E. Brady e H.E. Humiston, o que ainda salva a obra são os excelentes exercícios propostos para cada conteúdo, muitos deles com o nível de exercícios de disciplinas mais avançadas, do segundo e terceiro anos do curso.

    Na linha de livros para a disciplina-base de Química Geral, destacam-se significativamente os títulos seguintes:

    1) "Química: Um Tratamento Moderno" de Pimentel & Spratley;

    2) "Química: Um Curso Universitário" de Bruce Mahan e

    3) "Química Geral" de Izrael M. Rozenberg.

    O primeiro destaca-se por um maior aprofundamento dos assuntos (em se tratando de uma disciplina de Química Geral), apesar de apresentar alguns erros conceituais que, em uma linguagem mais rigorosa, não se adequa.

    O segundo destaca-se pela significativa abordagem matemática dada aos fenômenos químicos, abordagem esta usada em quase a totalidade da obra (o que agrada a alguns estudantes, mas gera aversão àqueles que não dominam minimamente o Cálculo Diferencial e Integral e boas noções de Física Elementar).

    O terceiro destaca-se pela abordagem histórica dos fenômenos químicos e pela eleborada abordagem voltada para a experimentação, com esquemas e desenhos de vários experimentos até mesmo em Física, para ilustrar a evolução de muitas das ideias em Química, além de uma razoável abordagem matemática, mas sem usar tanto o Cálculo.

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  18. Erratum

    Há um comentário do Leandro (datado de 17 de janeiro de 2012 e feito na postagem Nota de Esclarecimento), que deveria estar nesta postagem. Essa correção foi feita pelo próprio Leandro.

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  19. Flávio

    O melhor texto introdutório sobre teoria de conjuntos que conheço é o Basic Set Theory, de Shen e Vereshchagin, publicado pela AMS. Quanto a lógica formal, recomendo o excelente Introduction to Mathematical Logic, de E. Mendelson.

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  20. No ensino de português o problema é semelhante, temos muitos livros didáticos e gramáticas cientificamente equivocados e um ensino ainda conteudístico. Um colega da UFFS, me contou que os alunos não compreendem a necessidade de se ter matemática básica na universidade para todos os cursos. Eu entendo essa necessidade quando meus alunos não conseguem resolver uma fórmula do tipo x.2 + y.8 = 10/10 para cálculo do peso de exercícios e avaliações.

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  21. Pois é, Luisandro. Você fala de alunos que não dominam matemática elementar. E eu conheço inúmeros professores que não sabem falar ou escrever. Já vi até mesmo uma professora universitária se referindo a um curso de especialização como lacto senso. E ela escreveu isso em um cartaz.

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  22. Infelizmente, barbaridades do tipo "lacto senso" costumam ocorrer com certa frequência no ambiente acadêmico.

    Já assisti inclusive uma palestra em que um doutorando em Química Ambiental referia-se à *Teoria do Campo Autoconsistente*, bastante utilizada como método teórico em Modelagem Molecular e na Química Teórica como um todo, como "Teoria do Campo Autoconsciente"!!!!!!

    Este é outro exemplo do enorme descaso, descuido, despreparo e falta de seriedade com uma teoria completamente fundamentada na Mecânica Quântica sendo, na realidade, um método diretamente oriundo da MQ!!!!!!

    Será que essa pessoa sequer parou para pensar o que viria a ser uma "Teoria do Campo Autoconsciente"?????

    É difícil perceber, intuitivamente, que o termo "autoconsciente" não tem o menor cabimento?????

    Afinal de contas, não se trata de um ser vivo dotado de consciência para podermos dizer qualquer atrocidade do tipo "autoconsciente"!!!!!


    Se a pessoa ao menos não soubesse a terminologia correta e, pelo menos, sentisse algo de estranho ou incoerente com o termo "autoconsciente", ainda daria para relevar, mas daí a simplesmente não ter o menor senso crítico para pensar sobre a palavra em si, já torna-se um absurdo!!!!!

    Fico me perguntando se algum dia, no futuro, as pessoas perceberão que muito do significado atribuído a um determinado conceito pode ser deduzido diretamente do significado das raízes e prefixos/sufixos da própria palavra usada para nomear este conceito, ou se continuarão agindo como eternas "marionetes" que não se dão ao trabalho de pensar e se limitam a copiar meramente e, ainda assim, copiam errado!!!!!!!

    Ainda neste contexto, sou particularmente adepto ao resgate do ensino de "línguas mortas" como latim e grego clássicos que, ao meu ver, de mortas não têm nada uma vez que muitas palavras atuais usadas para nomear muitos conceitos apresentam significados que remetem diretamente aos radicais gregos e/ou latinos!!!!!

    CONTINUA

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  23. Alguns exemplos que ilustram esta ideia:

    1) Geografia

    Se a pessoa souber que o prefixo "geo" vem do grego e significa "terra" e "grafia" também vem do grego "graphein" e significa "descrever", fica fácil saber do que se trata o campo de estudo da Geografia.

    2) Geologia

    Sabendo que "logia" vem do grego "logos" e significa "tratado", "razão", "conhecimento" e combinando o prefixo "geo" com o radical "logos/logia", vem que Geologia representa a razão, ou o conhecimento, ou o tratado acerca da terra.

    3) Geocronologia

    "geo" = terra
    "crono" = tempo
    "logia" = razão, conhecimento

    Geocronologia = "conhecimento do tempo da terra" = estudo de fatores temporais relacionados com a terra, ou mesmo algo como o estudo da idade da terra (no sentido geral, e não especificamente do planeta Terra em si).

    4) Hidrogênio

    O nome do elemento químico deriva do contexto histórico de sua descoberta, uma vez que as reações químicas envolvendo o gás hidrogênio (H2) estavam relacionadas, historicamente, com a síntese e/ou decomposição da água (H2O).

    Então, o hidrogênio passou a ser conhecido, na época de Lavoisier, como o "elemento capaz de gerar/produzir água", como pode-se perceber pela palavra em si:

    "hidro" = do grego "hydor" = água

    "gênio" = do grego "genos" = produção

    "Hidrogênio" = "produção de água" = "aquele que gera/produz água"

    5) Oxigênio

    Similar ao significado de "hidrogênio", na época de Lavoisier acreditava-se que todos os ácidos continham o elemento oxigênio e, por isso, seriam formados por esse elemento.

    Daí, vem que:


    "oxi" = ácido

    "gênio" = produção

    "Oxigênio" = "produção de ácidos" = "aquele que gera/produz ácidos".

    CONTINUA

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  24. Nem sempre os radicais e prefixos/sufixos das palavras fornecem uma informação exata do que se trata um determinado conceito, mas mesmo assim podem fornecer valiosas e importantes pistas acerca do real significado do conceito, ou mesmo remeter a possíveis origens e significados históricos, como ocorre com "hidrogênio" e "oxigênio"!!!!!!

    Alguns outros exemplos cujos radicais e prefixos fornecem importante dica sobre o real significado do conceito ou então apontam para aspectos históricos do conhecimento:

    1) Geometria

    "geo" = terra

    "metria" = do grego "metron" = medida

    "Geometria" = "medida da terra"

    Muito embora o ramo da Geometria esteja longe de apenas efetuar "medidas da terra", foi neste contexto histórico que este ramo do conhecimento "fincou raízes" e começou a se desenvolver como parte da Matemática.

    Quando o ser humano deixou de ser nômade e passou a se fixar começando uma vida sedentária, surgiu a necessidade de delimitar espaços na terra para criação de animais, agricultura, pecuária, etc, deixando transparecer a ideia de "medida da terra", quando teriam surgido as primeiras "sementes" daquilo que viria a se tornar a geometria.

    2) Osmometria


    "osmo" = impulso
    "metria" = medida
    "Osmometria" = "medida do impulso"

    Apesar de não permitir uma especificação detalhada do conceito, é possível entender algo por meio do significado da palavra.

    A osmometria trata-se da medida da pressão osmótica em soluções ou matrizes (meios) químicas ou biológicas, separados fisicamente por alguma membrana permeável ou semipermeável.

    A pressão osmótica é, então, a pressão a ser aplicada a uma dada solução ou meio, para que seja evitada a passagem espontânea do solvente pela membrana, evitando a diluição da solução em questão.

    Esta ideia facilmente remete a algo como "medida do impulso", no sentido da pressão a ser aplicada ("impulso" aplicado) para evitar a passagem do solvente pela membrana.

    3) Estequiometria

    "estequio" = do grego "stoikheion" = elemento
    "metria" = medida
    "Estequiometria" = "medida dos elementos"

    Embora não seja "ao pé da letra" uma "medida dos elementos", os cálculos estequiométricos visam determinar as relações de proporção nas quais os reagentes atuam numa reação química e as respectivas quantidades dos produtos formados, de acordo com as proporções envolvidas nas reações químicas.

    Assim, "medida dos elementos" seria no sentido de que a massa de cada átomo de cada elemento influi diretamente nas massas molares de cada substância considerada e, consequentemente, nos cálculos de quanto daquela substância precisa reagir com alguma outra visando obter determinada quantidade de um dado produto, ou produtos.

    CONTINUA

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  25. Por fim, um último exemplo histórico, acerca do elemento "mercúrio".

    O símbolo do mercúrio na Tabela Periódica é "Hg".

    O símbolo "Hg" do mercúrio vem do latim "Hydrargyrum", que significa "prata líquida" ou "água de prata", devido ao aspecto brilhante e cor similar a da prata e também devido ao seu estado líquido nas condições-ambiente.

    Quero deixar claro que os termos em latim e grego que escrevi aqui não são de meu conhecimento, pois quase nada conheço desses idiomas!!!!!

    Apenas usei os termos em latim e grego para ilustrar os exemplos que escrevi aqui, com o intuito de salientar a importância do estudo dessas "línguas mortas" para o próprio conhecimento científico, já que muitas das terminologias técnico-científicas se pautam nestes idiomas!!!!!!


    Os termos gregos e latinos originais (tais como "metron", "stoikheion", etc) foram extraídos da "Grande Enciclopédia Larousse Cultural", da Editora Nova Cultural Ltda, 1998.

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  26. Leandro

    Uma observação que julgo pertinente. O grande Leonardo Da Vinci não conhecia latim. Não saber latim naquela época é como desconhecer inglês hoje em dia, uma vez que os mais importantes trabalhos científicos europeus dos séculos 15 e 16 eram publicados em latim. O curioso é que, apesar dessa deficiência grave, ele realizou proezas intelectuais impressionantes, sendo que algumas delas somente foram compreendidas séculos depois.

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  27. Olá prof. Adonai, você diz neste texto que a obra de Georges Ifrah não é uma boa fonte sobre História da Matemática.

    Gostaria de saber se tem alguma informação sobre a obra de Morris Kline "mathematical thought from ancient to modern times" que é uma obra extensa em 3 volumes e aparentemente não é muito popular. Eu nunca tinha ouvido falara até vê-la citada na referência de um artigo. Parece que ela não existe em português. Qual será o motivo? Será que não é historicamente confiável?

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  28. Anônimo

    O livro de Klein é ótimo! Foi muito bem recebido pelos historiadores da matemática.

    Tenha em mente que a vasta maioria dos melhores livros de matemática não têm tradução para o português. Lembro que anos atrás propus para alguma editoras brasileiras a tradução do último e mais importante livro de Patrick Suppes, Representation and Invariance of Scientific Structures. É uma obra soberba. Mas a resposta foi a seguinte: aqueles que se interessam por esses temas já leem inglês. Portanto, não precisa traduzir.

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  29. Complementando...

    Mesmo que traduzíssemos apenas o capítulo sobre probabilidades do livro de Suppes, teríamos o melhor texto sobre o tema em nosso idioma.

    Eu mesmo já traduzi inúmeros livros de matemática para o português. Mas quase sempre sou obrigado a fazer notas de rodapé para tentar explicar ao leitor que as coisas não são como os autores afirmam. Gosto de traduzir como forma de contribuição para a nossa literatura especializada. Mas quase nunca as editoras daqui se interessam por obras realmente boas. Duas raras exceções foram as edições de Análise Multivariada de Dados, de Hair et al. Até onde sei, foi a primeira obra do gênero no Brasil. Aquele foi um trabalho gratificante.

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  30. Aproveitando que o sr. faz uma crítica ao livro do Elon para professores de matemática, gostaria de perguntar se concorda com a ideia de Gentil Lopes Silva (UFRR) de que a dízima 0,999... não é um número real.

    Acho conveniente perguntar para o sr, pois Gentil diz "deixo aqui aos matemáticos o desafio de me mostrarem onde encontra-se uma falha (lógica)[...]" Creio que um lógico (tal qual o sr.) vai se sair melhor do que um matemático para identificar uma falha lógica.

    O que tem a ver com o livro do Elon? É que Gentil tbm critica a obra que o sr. mencionou, discordando de tal modo do Elon que chega a provar um teorema que diz "Se 0, 999... é um número então 1 = 0". Neste caso Elon ou Gentil está certo?

    Se o sr. tiver interesse em responder este comentário aqui está o texto do Gentil:

    http://www.dmat.ufrr.br/~gentil/images/stories/Artigos/palestra.pdf

    Obs: neste mesmo texto ele diz que números não são elementos de conjuntos mas sim elementos de estruturas algébricas. A definição dele faz algum sentido? Gentil diz, mas não explica pq, que um número não pode variar conforme a topologia adotada. Isto é verdadeiro?

    Este ponto é sério, pois se Gentil estiver certo então todos estão errados e a educação está perdida, pois nunca vi ninguém discordar do fato de que dízimas de fato são números.

    AAnooniimoo

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  31. AAnooniimoo

    Olha, já conheci gente bem mais esquisita do que Gentil. Conheci um pesquisador muito respeitado aqui no Brasil (foi até bolsista de produtividade do CNPq) que dizia que Einstein criou a teoria da relatividade porque era disléxico. E, pior, ele convenceu a comunidade científica da validade da teoria da relatividade porque induziu dislexia em toda a comunidade internacional de físicos. Outro exemplo mais perigoso é André Koch Torres Assis. Se combinarmos certas ideias dele com sua influência entre jovens aspirantes à pesquisa, temos um problema realmente grave em mãos. Também conheci um sujeito que dizia que o universo tem a forma de um cubo. Outro que me procurou dizia que o sol não queima por fusão nuclear. Etc, etc, etc. Mas... não posso me estender neste comentário.

    Gentil está gravemente errado. Dizer que números não são elementos de conjuntos, mas de estruturas algébricas, é um disparate que beira a loucura. O conceito usual de estrutura algébrica é um conjunto! Além disso, desconheço o conceito de número. Existem números naturais, inteiros, racionais, irracionais, transcendentes, reais, complexos, perplexos, surreais, hiperreais, transfinitos, quaterniônicos etc. Mas nunca vi o conceito de número!

    Com relação à topologia dos números reais, de fato a igualdade 0,999... = 1 deve independer da estrutura topológica dos números reais. E o argumento de Gentil é que ele usou uma métrica (a qual naturalmente deveria induzir uma topologia) sobre os reais, na qual se prova que a dízima 0,999... é 0. Erro terrível dele! A tal da métrica divina (como ele chama) não é uma métrica sobre os reais. Aliás, ele mesmo reconhece isso em seu texto, ao mostrar que a tal da função k pode ser zero quando o argumento é o par ordenado (0,1). Por isso ele excluiu o 1 do domínio da tal métrica! É óbvio que com aquela função ele jamais conseguiria provar que 0,999... = 1. Afinal, 1 não pertence ao domínio da suposta métrica divina. Ou seja, a métrica divina de Gentil não é uma métrica sobre os números reais!

    Eu já conhecia esse trabalho de Gentil, o qual comete inúmeras impropriedades matemáticas, escreve muito mal e usa tom messiânico em seus textos. Mas não achei que a influência dele persistiria.

    Resumo: Lima tem razão. A dízima 0,999... é apenas outra forma para representar o número real 1.

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  32. Adonai:

    Certa vez discutimos este assunto, lembra?
    Eu não vejo problema algum em adotar o livro do Ifrah (e outros tantos, talvez ainda piores) como referência e indicar sua leitura. Veja só como nos seus próprios argumentos é possível encontrar algumas "ressalvas" a favor do dito cujo:
    (i) Nos dois tomos o autor reivindica descobertas históricas que, na verdade, foram anteriormente feitas por outros;
    - Você mesmo disse que se trata de uma obra monumental no seu volume de informações. QUANTAS VEZES ELE COMETE ESSE ERRO? É significativo (o que seria isso?) em relação ao total de informações que ele fornece?
    Além disso, a controvérsia sobre quem fez as "descobertas" primeiro é uma das coisas mais abertas que existem em quaisquer campos do conhecimento... Exemplo: Teria sido Arquimedes o "inventor do Cálculo"?
    Então, de fato... seria necessário enumerar os erros cometidos por Ifrah, para que a gente pudesse avaliar a quantidade e a gravidade dos mesmos!


    (ii) Os livros nada acrescentam em termos de fatos ou análises históricas sensatas sobre a história dos algarismos;
    - Milhares de livros "científicos" são escritos a cada ano e NADA ACRESCENTAM... Este livro de Ifrah não pretende "acrescentar" nada. Pelo que entendi dele (e da proposta megalômana) ele tenta COMPILAR "tudo"... Para mim é uma tentativa válida, assim como qualquer outra mais erudita.




    (iii) Na obra há informações históricas que foram meramente inventadas;
    Precisamente: QUAIS? Como? Essa é uma acusação um tanto complexa. Alguns filósofos fazem interpretações "radicais" de textos antigos... Ifrah "inventou" INFORMAÇÕES ou ele "inventou" interpretações "não autorizadas"?
    Por exemplo: discutir isso não seria relevante para a formação de um professor de matemática? Eu creio que sim!

    (iv) O autor ignora a história detalhada de números famosos como o e (base dos logaritmos naturais) e o π (a razão entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro), os irracionais, os transcendentes, os transfinitos, os quatérnions, os perplexos e os infinitesimais (citando apenas alguns exemplos);
    Aqui o autor é criticado pelo que NÃO FEZ. Nunca acho válida uma crítica assim, pois cada autor faz "escolhas". Mas concordo... a "falta" destas coisas não é compatível com o enunciado do "projeto" de falar sobre "tudo"! :-)

    (v) O autor promete discutir sobre assuntos como computação quântica, mas não o faz.
    Vale o mesmo comentário que fiz anteriormente!

    De qualquer modo eu não morro de amores pelo livro do Ifrah, apenas acho que ele merece... digamos assim... um espaço para o "contraditório". :-)

    Mas... a gente sempre diverge nestas coisas, não é!? De qualquer modo: PARABÉNS PELO BLOG e pela sua paciência de responder aos comentários!!!
    Um Grande Abraço!
    Carlos Roberto Vianna

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  33. Vianna

    É ótimo contar com sua colaboração aqui. Tentarei responder suas colocações na ordem proposta.

    (i) Volume monumental de informações não remete a confiabilidade. Como não sou historiador da matemática, apenas informei que professores devem ser mais cuidadosos na escolha de textos para suas aulas. O problema é que no Brasil não há historiadores da matemática que possam julgar o trabalho de Ifrah que, por sinal, foi severamente rejeitado por especialistas de vários países.

    (ii) Ifrah afirma ter feito descobertas históricas. Isso significa que ele pretendia sim acrescentar algo. E que outros autores nada acrescentam em suas obras, concordo. Sobre estes não tenho interesse.

    (iii) Os detalhes estão nas fontes que citei. Os artigos que usei como base para esta postagem estão nas bibliotecas de boas universidades e até mesmo na UFPR.

    (iv) Ifrah pode sim ser criticado pelo que não fez. Ele mesmo armou a própria armadilha a partir do momento em que disse que responderia a todas as questões sobre história dos algarismos.

    (v) Mesma resposta do item (iv).

    Entendo sua preocupação, Vianna. Veja que esta crítica que fiz ao livro de Ifrah jamais avaliou mérito da obra. Tanto é que usei como referência o elaborado parecer de historiadores muito conhecidos. Meu único objetivo foi alertar para cuidados básicos que devem ser tomados na escolha de leituras, quando não somos especialistas.

    Agradeço pelo apoio ao blog. Espero poder contar com sua importante participação futura.

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  34. Boa tarde Prof. Sant'anna.

    Em primeiro lugar quero te agradecer pelo excelente texto, muito interessante. Se blog foi um feliz achado.

    Com relação a Coleção "A Matemática do Ensino Médio" editada pela SBM, me lembro de ter comprado essa coleção para me auxiliar a entender melhor alguns conceitos como: Conjuntos, Funções, Coordenadas Cartesianas e etc.. Sem de forma alguma desrespeitar os grandes professores Elon Lages Lima, o saudoso Augusto Cesar Morgado e outros que trabalharam na citada coleção afim de orientar outros professores e estudantes, eu, na condição de estudante, pude perceber que a coleção contém demonstrações muito legais e conceitos lógicos que não se vê no ensino médio em geral mas peca por falta de aprofudamento nos conceitos, fiquei com a sensação de "perdi alguma coisa" e "Como ele chegou nessa equação?", isso me trouxe alguma dificuldade quando chegava na parte dos exercícios, por sinal muito bem elaborados.

    Logicamente que, em meio essa dificuldade, eu buscava alguma luz complementar nos livros dos grandes Gelson Iezzi, Scipione Piero Neto, Antonio dos Santos Machado e mais tarde me surpreendi muito com uma coleção de livros do Richard Rusczyk do site "Art of Problem Solving" que se mostrou completíssima, revelando os meandros dos conceitos lógicos e algébricos de muitas demonstrações vistas anteriormente em outros livros porém com um sabor novo.

    Aqui no Brasil temos ótimos livros e excelentes professores, mas a maioria de nossas publicações são, digamos, muito resumidas e nos treinam a "decorar" ao invés de realmente "aprender".

    Peço desculpas se escrevi de forma confusa.


    Atenciosamente,
    Rodrigo

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  35. Rodrigo

    Então (só pra provocar um pouco mais) aqui vai uma questão cuja resposta é ignorada pela vasta maioria dos matemáticos e professores de matemática: o que é um polinômio?

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    1. Prof. Adonai, boa noite.

      Boa pergunta, muitos livros e até sites definem monômios e polinômios como "expressões matemáticas envolvendo valores numéricos e literais, sem haver operações de adição ou subtração entre eles (parte numérica e parte literal)" alguns definem como um polinômio como a união de monômios (daí podendo ter binômios, trinômios..).

      É basicamente o que se encontra escrito por aí.

      Eu, como todo curioso e sendo apenas um amador que gosta muito de matemática e acha matemática simplesmente fascinante (talvez a chave dos mistérios do Universo, rs), sempre me perguntei para que servem, me lembro de ter visto uma resposta bem interessante do Carlos Yuzo Shine, que transcrevo aqui:

      *****Se não houvesse polinômios, muito provavelmente não
      poderíamos utilizar CDs, nem de música nem de
      computador. Os polinômios (e aritmética módulo n,
      corpos finitos, enfim, tópicos de álgebra abstrata)
      são a base do código que faz com que os dados sejam
      escritos em CDs, os chamados códigos corretores de
      erro. Todo meio de comunicação tem o que chamamos de
      ruído, que faz com que os dados não sejam transmitidos
      corretamente (não é incompetência do transcritor de
      dados, é a própria natureza - um bom exemplo é a
      recepção de celular com ruído atmosférico). Assim, são
      necessários códigos que eliminem ou corrijam esses
      erros, que são esse códigos corretores de erros. É
      claro que, para compreender isso, é necessário algum
      estudo de álgebra abstrata e, dependendo do código,
      até de geometria projetiva finita!*****

      Aqui tem uma interessante discussão que vale a pena dar um olhada: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200307/msg00241.html


      Grande abraço.

      Rodrigo

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    2. Rodrigo

      Não faz sentido definir polinômios como expressões matemáticas. Afinal, o que seriam expressões matemáticas? E conceituar polinômios como uniões de monômios também não ajuda: em primeiro lugar a afirmação é falsa em formulações usuais e, em segundo lugar, cria o problema para definir monômios. Essa história de que polinômios são definidos a partir de variáveis, expoentes e coeficientes é mais uma confusão que se faz entre conceito e notação. Não se pode usar a notação para polinômios como instrumento de definição do conceito.

      Polinômios, usualmente, são vetores de espaços vetoriais de dimensão finita. Futuramente postarei detalhes por aqui.

      Seu interesse e ânimo são admiráveis. Mas o fato é que você está cercado de mediocridade por todos os lados, assim como eu e todos os demais.

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    3. Prof. Adonai

      Muito bem colocado! A diferença entre "conceito" e "notação", muitos livros fazem essa confusão.

      Tenho que ser sincero que nunca pensei em polinômios como vetores de espaços vetoriais de dimensão finita. Ansioso pra ver e tentar entender esses detalhes.

      Seria caso de que, para entender realmente algum conceito em Matemática a pessoa teria que saber explicar esse conceito inclusive sem a utilização de expressões matemáticas (notação)?

      Rodrigo

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    4. Complementando:

      Isso faria com que alguns conceitos se tornassem acessíveis para aqueles que não dominam a linguagem.

      Rodrigo

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    5. Realmente, Rodrigo, precisarei postar algo a respeito dessas importantes questões. É possível mostrar, por exemplo, que conceitos matemáticos independem da linguagem. Para entender isso precisamos qualificar o conceito de linguagem. Uma das acepções de linguagem formal estabelece que se trata de um conjunto de símbolos e fórmulas (veja a postagem sobre Curiosidades Lógicas). Se definimos, por exemplo, função em uma dada linguagem conjuntista, ainda podemos definir o mesmo conceito em outra linguagem (equivalente, em sentido preciso). Basta mudar os símbolos que definem a linguagem.

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    6. Complementando, em resposta ao seu último comentário... Devemos tomar muito cuidado com sua conclusão. Conceitos em matemática podem independer de linguagem; mas isso não significa que tais conceitos possam ser compreendidos por pessoas que não dominam alguma linguagem formal. Uma questão é a relação entre conceitos e linguagem. Outra é a contraparte pedagógica no aprendizado de matemática. Desde Hume já se sabe da enorme dificuldade que as pessoas encontram para compreender ideias abstratas.

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  36. Este comentário foi removido pelo autor.

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  37. Caro Adonai;
    Sou aluno de economia e tenho uma base fraca em matemática, nessas férias vou passar estudando cálculo, e usando alguns livros sobres funções de apoio; adquiri o vol. 1 de matemática do ensino médio do Elon, mas depois dessas críticas fiquei receoso se fiz a escolha certa.
    Lhe peço então uma sugestão de bibliografia, usarei o Stewart para cálculo e livros de cursinho e do Elon para apoio; qual seria sua indicação?
    Grato!!!

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    1. Anônimo

      Sua escolha do livro de Elon Lages Lima foi excelente. Apenas fiz as críticas para ilustrar que ninguém está acima de suspeita. Por isso a diversidade de leitura é fundamental, para que você mesmo tenha oportunidade de exercer seu próprio senso crítico. Se sente que sua formação está deficiente, recomendo livros de pré-cálculo, como o de Fred Safier. Com relação a cálculo diferencial e integral, acho mais interessante as obras de E. Swokowski (principalmente as edições mais antigas) e H. Guidorizzi. Uma complementa a outra.

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    2. Muitíssimo obrigado,vou começar com pré-cálculo; quanto aos de cálculo foi difícil escolher um pois pra cada um que me perguntava a resposta era diferente, tinha chegado a conclusão que o Stewart tinha a melhor didática, mas vou procurar os que vc me indicou.

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  38. Professor!

    Seu blog, seus escritos, são fontes de deleite intelectual, para mim. Tenho 2 livros seus (da Manole) e livros do Elon (em particular, dois de referentes a Lógica Paraconsistente).

    Enfim, agora, mais uma dica (o livro do Hegenberg)! Ha! Comprei-o por R$ 4,00 reais, após sua dica! (Tem cabimento isso???)

    Nem comento o excelente post! Meu mote, para o Sr., é: ALEGRIA! Alegria de ter seus livros! Alegria de herdar a trilha de pensamentos que o Sr., arduamente - com toda certeza! - percorreu! (Não é para isso que servem livros? Transmissores do pensamento?) Alegria de suas dicas! Tenha o Sr. certeza de que, aqui e alí, estamos por aí, sendentos de conhecimento, e ENTUSIASMADOS com qualquer pérola que possamos "pegar", sedentos, vazios, miseráveis e banzos que somos! Os monges-com-tigelas, esmolando "insights" - mas consistentes e demonstráveis!

    Neste final de Domingo, madrugada de Segunda (quando - após laborar em Álgebra, meu cérebro se incendeia, tal como o de Blaise Pascal ("O Fogo! O Fogo!"), tenha o Sr. a certeza que prezamos MUITO suas considerações, oriundas da mais sincera consideração - o caminho racional!

    Um grande abraço, e MUITO OBRIGADO pelas suas "dicas"! O Sr. NÃO PODE IMAGINAR o quanto são preciosas!

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    1. Agradeço pelo apoio, Hank. Espero dar continuidade ao blog em breve.

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  39. Adonai, a maioria das boas obras (com boas referencias) para se ler nao vendem no brasil e dificilmente se consegue pela internet. Mesmo se eu quisesse conseguir por um meio informal (ie, via download sem remunerar o autor) tambem nao conseguiria. Por bibliotecas dificilmente se consegue, salvo alguns titulos. A maioria das obras que me sao acessiveis, sao as ditas "mediocres". Nesse caso, qual minha alternativa? Tenho uma imensa vontade de aprender mais... Mas dada essas condiçoes nao sei o que fazer.

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    1. Vinicius

      Existem algumas alternativas. Há bibliotecas de universidades públicas que contam com programas que permitem fotocopiar trechos de livros. Cabe à própria biblioteca localizar onde está a instituição mais próxima que tem aquele livro em seu acervo. Para que o serviço possa ser usado é necessário ter em mãos informações detalhadas sobre o livro e sobre as páginas que devem ser fotocopiadas. Se usar este serviço mais de uma vez, é possível fazer uma cópia do livro todo. Outro possível caminho é pedir favores a conhecidos que trabalham ou estudam em instituições com boas bibliotecas. Ainda existe também a possibilidade de comprar os livros em sites como amazon ou bookstore, entre outros.

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  40. Respostas
    1. Sebastião

      Eu mesmo já traduzi cerca de dez livros do inglês para o português, todos de graduação. Tentei usar meus contatos para traduzir textos em áreas carentes em nosso país. Mas as respostas que recebi não foram muito estimulantes. O argumento usualmente apresentado é o seguinte: "O público interessado nesta área já sabe ler em inglês e, portanto, dispensa tradução."

      Parece que a sensação existente entre editores e empresários é que não há demanda em certas áreas científicas e tecnológicas. Topologia é apenas uma dessas áreas.

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    2. Sebastião

      Desconheço traduções publicadas pelo IMPA. Além disso, existe no Brasil uma cultura de desvalorização da língua portuguesa. Na França todos os clássicos estrangeiros são traduzidos. No Brasil algo equivalente simplesmente não acontece.

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  41. E em que a matemática é formula ? Sempre pensei que fosse em conjuntos.

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    1. Henrique

      Confesso que não entendi a pergunta. Poderia explicar?

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    2. Transcrevi errado !
      "Já na primeira página do Capítulo 1 está escrito que "[t]oda a Matemática atual é formulada na linguagem de conjuntos."
      O que quero saber é se a Matemática é formulada ou fundamentada em algo.

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    3. Henrique

      Existem várias tentativas de formulação de uma visão unificada da matemática. Os exemplos clássicos são o intuicionismo, o logicismo e o formalismo. No entanto, cada uma delas deixa de lado porções importantes deste ramo do conhecimento. Até hoje esta é uma questão em aberto. A melhor definição para matemática que conheço é o Mathematics Subject Classification da American Mathematical Society. Lá você encontra todos os ramos da matemática, no sentido do que hoje se entende por matemática.

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  42. Respostas
    1. Sebastião

      É muito difícil qualificar o que significa rigor. Em praticamente todas as ciências reais o emprego de matemática é muito limitado. Se um físico se escravizar a formalismos matemáticos, dificilmente fará alguma contribuição relevante em física. Há a necessidade de intuir até onde a matemática é útil e a partir de que momento devemos abrir mão dela em favor de uma intuição física. Com relação a autores de livros didáticos, a situação é muito diferente. Frequentemente não são muito inteligentes.

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  43. "não produziu um único ganhador da Medalha Fields, o "Nobel" da matemática (não seria isso um diagnóstico de fracasso do IMPA?)" Vc está por fora. O Artur Ávila estudou no IMPA e ganhou
    medalha Fields. Segundo tem dezenas de vídeos no youtube sobre ele e ele nunca mencionou a palavra critítica. Matemática se faz com criatividade, intuição e talento. Filosofia que se faz com crítica. Aposto que o Artur não sabe justificar a divisão por zero e mesmo assim faz matemática.
    "É claro que esses temas não interessam a alunos do ensino médio" Claro que interessa.

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    1. Anônimo

      Críticas bizarras as suas. Esta postagem é anterior à premiação de Avila. Além disso, um dos pontos que mais se defendeu neste blog não é crítica, mas senso crítico. São dois conceitos muito distintos. Senso crítico é fundamental em todas as áreas do conhecimento, incluindo matemática. E com relação a temas que interessam a alunos de ensino médio, esta é uma questão muito ardilosa. Em geral, a garotada não se interessa por cultura alguma.

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  44. Observe a Obmep por exemplo o que tem de formal naquilo ? Agora pense na quantidade de pessosas que foram parar no IMPA por conta da OBMEP. Ninguém tem culpa de vc ter sido reprovado em análise I.

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    1. Bem, certamente o IMPA cumpre um papel social da mais alta relevância. Mas isso não torna a instituição acima de críticas. Vale observar também que jamais reprovei em matéria alguma, seja Análise I ou qualquer outra.

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    2. Não tente adivinhar como se faz matemática pergunte aos matemáticos. O próprio mestre Olavo disse que o fator mais importante é a criatividade.

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    3. Quem exatamente seria este mestre Olavo?

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    4. https://www.youtube.com/watch?v=mzX7JFBOG9c

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    5. Foi o que pensei. Olavo de Carvalho não é matemático ou filósofo. Fortemente recomendo que procure contato com bons matemáticos e bons filósofos para a formação de uma visão sensata sobre a natureza da matemática.

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    6. Sei o que estou falando já ganhei medalha de ouro na Obmep. Você precisa ler os livros do Olavo com mais cuidado. Isso acaba se aqui.

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    7. Parabéns pela medalha. Esta é uma marcante conquista. Mas para se definir um matemático é necessário muito mais do que isso. Matemático é aquele que publicou em periódico especializado de alto nível pelo menos um teorema não trivial e sua respectiva demonstração.

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  45. O Olavo é, no máximo, um filósofo de 5ª categoria. No artigo http://www.olavodecarvalho.org/semana/091116dc.html ele diz, ironizando Dawkins "A Catedral de Chartres e os Concertos de Brandeburgo, em suma, foram construídos pelos mesmos métodos do furacão Katrina ou de um acidente de trânsito". O sujeito não sabe a diferença entre processo de seleção natural e processo randômico... triste.

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  46. Gostaria muito de ter esse livro citado na postagem, "Está brincando, sr. Feynman", para digitalizar e disponibilizar na web gratuitamente. Os exemplares usados que encontrei estavam com preços absurdos, um livro dessa importância deveria ser mais acessível.

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  47. Professor Adonai

    Foi lançado um livro de matemática pela recentemente pela editora da FGV cujo um dos autores é o Ralf da Costa Teixeira, que é mestre pelo IMPA e medalhista de olimpíadas. Pelo que vi parece ser muito bom; inicia já de cara com noções de lógica, define Matrizes de modo correto, e tem uma robustez matemática muito boa, sem deixar as contextualizações de lado.

    Dê uma olhada http://bibliotecadigital.fgv.br/dspace/handle/10438/16732

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  48. Professor, 'Matemática' de Gelson Iezzi é recomendável? Tenho uma edição antiga de Ensino médio (1a série até 3a série), estava revisando teoria de conjuntos por ele só para aquecer, já que pretendo começar a estudar lógica. Que obras específicas de set theory recomendarias?

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    1. arthur

      A coleção de Gelson Iezzi é a melhor obra de matemática para ensino médio que já conheci, em nosso país. Com relação à segunda questão, fortemente recomendo Basic Set Theory, de Shen e Vereshchagin. É um ótimo começo.

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  49. Obrigado professor, procurarei pela obra na Amazon, espero que encontre!

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  50. Livros escolares nos deixam mal acostumados. Se você está estudando um capitulo sobre funções de primeiro grau, todos os problema naquele capítulo envolvem soluções com funções do primeiro grau, ou seja, você tem um noção clara de como resolvê-los.
    No mundo real não é assim, muitas vezes a gente nem sabe por onde começar diante de um problema. Talvez seja impressão minha, mas parece que as pessoas só se dão conta disso quando já estão no ensino superior.

    Sebastião

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    1. Sebastião

      Neste caso você parece ser um otimista. Não vejo as pessoas tendo este tipo de percepção, mesmo em cursos superiores. Mas é aquela coisa. É possível que o público com o qual estou acostumado seja apenas muito tonto.

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    2. Prezado Prof. Adonai, certa feita ouvi de um professor conhecido meu que, dentro dos assuntos do ensino médio, ele não conseguia vislumbrar "utilidade prática", no tocante ao ramo da Trigonometria, na Transformação de Soma em Produto envolvendo expressões trigonométricas (as famosas fórmulas de Prostaférese e de Werner). Segundo esse mesmo professor, depois de pesquisar sobre o assunto, ele só descobriu uma "utilidade" para esse conteúdo, qual seja, ferramenta auxiliar na elaboração de cartas náuticas antes da invenção dos logaritmos! Posto isso, pergunto eu: Sobre esse tema (fórmulas de Prostaférese e Werner), ainda lecionados no nosso ensino médio, é procedente a reclamação sobre a suposta "inutilidade" do assunto em questão? Se há uma "utilidade", qual seria ela? E, por fim, esse assunto deveria permanecer no currículo
      do ensino médio brasileiro?

      Atenciosamente,

      Francisco

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    3. Francisco

      Esta questão da utilidade da matemática para alunos de ensino médio jamais fez sentido para mim. Sem querer desmerecer seu professor ou a sua pergunta, esse tipo de preocupação afasta as pessoas da matemática. Além disso, um relatório recente da OCDE aponta para o fato de que matemática lecionada do ponto de vista de aplicações é uma péssima ideia, inclusive para aqueles que pretendem aplicá-la. Ver, por exemplo, o link abaixo:

      http://hechingerreport.org/pure-math-better-applied-math/

      Mas para aqueles que insistem nas famosas aplicações, as fórmulas de Werner são usadas, por exemplo, na demonstração da representação de funções como séries de senos e co-senos (séries de Fourier). E séries de Fourier são usadas, por exemplo, em processos de conversão de arquivos digitais de formato wave para mp3. Ou seja, não há necessidade alguma de apelar para aplicações em um passado remoto. Essas fórmulas são absolutamente essenciais para aplicações tecnológicas bem atuais.

      A bem da verdade, quaisquer aplicações que sejam mencionadas para responder a uma pessoa cuja preocupação seja focada em aplicações é, em geral, uma perda de tempo. Isso porque esse tipo de pessoa sempre pode responder (e fazem isso de fato!) algo do tipo "Tudo bem, mas jamais vou trabalhar com tecnologias avançadas."

      Perdoe o tom de minha resposta. Mas estou bastante cansado deste tipo de preocupação sobre conteúdos ensinados em sala de aula. É incrível como o brasileiro se preocupa com aplicabilidade, ainda mais levando em conta que somos um país sem tradição alguma em aplicações da ciência.

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    4. Obrigado pela explanação, professor Adonai. No entanto, a fim de desfazer algum possível equívoco, quero deixar claro que a suposta preocupação sobre "utilidade prática" (e eu fiz questão de também colocar as aspas nessa mesma expressão no meu texto anterior ) era desse professor conhecido meu e de muitos estudantes que encontro por aí, e não representa a minha posição pessoal sobre o tema. Explico-me. Sempre tive uma visão diametralmente oposta a essa visão dominante em nossas escolas em tentar "instrumentalizar" o saber científico, quando, para mim, mais vale tentar valorizar uma atitude de curiosidade pelo saber de per si, ou, em termos mais simples, o simples amor pelo conhecimento (não era essa a origem da filosofia?). O conhecimento (em geral) deveria ser um valor em si mesmo, e não ser descartado acaso não se encontre uma suposta "serventia" para algum tópico que estejamos a estudar. Posto isso, reafirmo aqui mais uma vez que não
      compactuo com a visão criticada pelo senhor, Prof. Adonai; pelo contrário, faço coro às suas críticas.

      Grato pela atenção dispensada,

      Francisco

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    5. Entendo, Francisco. O problema é que experimento um momento em minha vida profissional no qual esses questionamentos sobre utilidade atingem níveis preocupantes.

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